育才学校2019届高三上学期期末考试卷数学试题（理科）请在答题卡指定区域位置作答，在其它地方作答无效。第I卷选择题60分一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集，，，则集合=（）A.B.C.D.2.已知复数（为虚数单位），则（）A.B.C.2D.3.已知函数，若，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.4.如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（）A.B.2C.D.5.已知等差数列的前项和为，且，.若，则（）A.420B.340C.-420D.-3406.已知双曲线：，圆：，若双曲线的一条渐近线与圆有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是（）A.B.C.D.7.设函数，，若实数，满足，，则（）A.B.C.D.8.已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥外接球的表面积是（）A.B.C.D.9.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（）A.B.C.D.10.设，分别是正方形的边，上的点，且，，如果（，为实数），则的值为（）．A.B.C.D.11.设满足约束条件若目标函数的最小值大于，则的取值范围为A.B.C.D.12.在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（）A.B.C.D.第II卷非选择题90分二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为_______.14.已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若为等边三角形，则的面积为__________．15.如图，在棱长为的正四面体中，动点在侧面内，底面，垂足为，若，则长度的最小值为________.16.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为__________．三、解答题(共6小题,共70分)17.(10分)已知的内角所对的边分别为，.（1）；（2）若的平分线交于点，且的面积为，求的长.18.(12分)已知函数.（1）若，函数的极大值为，求实数的值；（2）若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围.19.(12分)设等差数列的公差为d，前n项和为成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．20.(12分)如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值．21.(12分)如图所示，在四棱锥中，平面是的中点,.（1）证明：平面；（2）若是上的点，且，求二面角的正弦值.22.(12分)已知函数.（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数.高三理科数学答案一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.D2.A3.A4.C5.D6.A7.D8.B9.C10.C11.B12.A二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.14.15.16.-1三、解答题(共6小题,共70分)17.(1)(2)解析：（1）因为，所以.于是，.（2）由可得.设的面积为，∴，∴.则. 为的平分线，∴，∴.又.∴.在中,由余弦定理可得，∴.18.(1)；(2).解析：（1） ，∴.①当时，，令，得；，得，所以在上单调递增，上单调递减．所以的极大值为，不合题意．②当时，，令，得；，得或，所以在上单调递增，和上单调递减.所以的极大值为，解得．符合题意．综上可得．（2）令，，当时，，则对恒成立等价于，即对恒成立.（ⅰ）当时，，，，此时，不合题意.（ⅱ）当时，令，则，其中，，令，则在区间上单调递增，①当时，则，所以对，，从而在上单调递增，所以对任意，，即不等式在上恒成立．②时，由，及在区间上单调递增，可得存在唯一的，使得，且时，.从而时，，所以在区间上单调递减，所以当时，，即，不符合题意．综上所述．所以实数的取值范围为．19.（1）；（2）.解析：（1） ，又∴又成等比数列．∴，即，解得，∴。(2)由（1）可得，.20.（1）椭圆的标准方程为；（2）面积的最大值为．解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．由已知，点，则．设点，据抛物线定义，得．由已知，，则．从而，所以点．设点为椭圆的左焦点，则，．据椭圆定义，得，则．从而，所以椭圆的标准方式是．（2）设点，，，则．两式相减，得，即．因为为线段的中点，则．所以直线的斜率．从而直线的方程为，即．联立，得，则．所以．设点到直线的距离为，则．所以...
