习题课(1)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(B)A．－1B．1C．3D．7解析：由已知得a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a3＝35，a4＝33，∴d＝－2.∴a20＝a3＋17d＝35＋(－2)×17＝1.2．在数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2，则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是(C)A．a21和a22B．a22和a23C．a23和a24D．a24和a25解析：因为an＋1＝an－，所以数列{an}是等差数列，且公差为－，所以an＝15＋(n－1)·.因为a23＝，a24＝－，所以a23a24<0.3．在数列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N＋，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA、OB、OC满足OC＝a1OA＋a2015OB，且A、B、C三点共线且该直线不过O点，则S2015等于(A)A．1007.5B．2015C．1006D．2014解析：由an＋1＝an＋a，知数列{an}为等差数列，又A、B、C三点共线，故a1＋a2015＝1，所以S2015＝＝1007.5.4．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使Sn取得最小值的正整数n的值是(C)A．4或5B．5或6C．6或7D．7或8解析：依题意得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒a1＋6d＝0，即a7＝0，故前6项与前7项的和相等，且最小．5．已知数列{an}的通项公式an＝26－2n，则使其前n项和Sn最大的n的值为(D)A．11或12B．12C．13D．12或13解析：因为an＝26－2n，所以an－an－1＝－2，所以数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，所以Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋.又n∈N＋，所以当n＝12或13时，Sn最大．6．在等差数列{an}中，如果a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前9项的和为(C)A．297B．144C．99D．66解析： a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴a1＋a4＋a7＝3a4＝39，a3＋a6＋a9＝3a6＝27，即a4＝13，a6＝9.∴d＝－2，a1＝19.∴S9＝19×9＋×(－2)＝99.7．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有(A)A．13项B．12项C．11项D．10项解析：由a1＋a2＋a3＝34，an＋an－1＋an－2＝146，得a1＋an＝60，又Sn＝，代入得390＝，得n＝13.8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若数列{an}是等差数列，且a3<0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值(C)A．恒为负数B．恒为0C．恒为正数D．可正可负解析：由f(x)是R上的奇函数，可知f(0)＝0.1由题意知x≥0时，f(x)<0；x<0时，f(x)>0又数列{an}是等差数列，所以a1＋a5＝2a3<0，所以f(a3)>0.由当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)在R上单调递减．又a1<－a5得f(a1)>f(－a5)＝－f(a5)，即f(a1)＋f(a5)>0，故f(a1)＋f(a3)＋f(a5)>0.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)9．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝10.解析：法1：S9＝S4，即＝，所以9a5＝2(a1＋a4)，即9(1＋4d)＝2(2＋3d)，所以d＝－，由1－(k－1)＋1＋3·＝0，得k＝10.法2：S9＝S4，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，从而a4＋a10＝2a7＝0，所以k＝10.10．“等和数列”的定义：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18的值为3.解析：由题意可得an＋an＋1＝5，∴an＋1＋an＋2＝5.∴an＋2－an＝0. a1＝2，∴a2＝5－a1＝3.∴当n为偶数时，an＝3；当n为奇数时，an＝2.∴a18＝3.11．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765.解析： an＋1－an＝3为常数，∴{an}是等差数列．an＝－60＋(n－1)×3，即an＝3n－63.∴an＝0时，n＝21；an>0时，n>21；an<0时，n<21.∴S′30＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－a1－a2－a3－…－a21＋a22＋a23＋…＋a30＝－2(a1＋a2＋…＋a21)＋S30＝－2S21＋S30＝765.三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分．写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤．)12．已知等差数列{an}的前n项和记为Sn，a5＝15，a10＝25.(1)求通项an；(2)若Sn＝112，求n.解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， a5＝15，∴a1＋4d＝15.① a10＝25，∴a1＋9d＝25....
