3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义[A基础达标]1．复数z1＝a＋4i(a∈R)，z2＝－3＋bi(b∈R)，若它们的和为实数，差为纯虚数，则()A．a＝－3，b＝－4B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4D．a＝3，b＝4解析：选A.由题意，可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故，解得a＝－3，b＝－4，故选A.2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则复数z1－z2＝()A．－1＋2iB．－2－2iC．1＋2iD．1－2i解析：选B.由题意，知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i，故选B.3．(2018·山西太原五中期末)设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于()A．1－5iB．－2＋9iC．－2－iD．5＋3i解析：选D.f(z1－z2)＝(z1－z2)－2i＝(3＋4i＋2＋i)－2i＝5＋3i.4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则CD对应的复数是()A．2＋4iB．－2＋4iC．－4＋2iD．4－2i解析：选D.依题意有CD＝BA＝OA－OB，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即CD对应的复数为4－2i.5．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于()A．1＋iB．1＋3iC．－1－iD．－1－3i解析：选B.因为z＋3－2i＝4＋i，所以z＝4＋i－3＋2i＝1＋3i.6．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限．解析：因为z＝3－4i，所以|z|＝5，所以z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋(1－i)＝－1－5i.答案：三7．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________．解析：因为z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，所以a2＝12，所以a＝±2，所以z＝±2－2i.答案：±2－2i8．复数z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为________．1解析：|z1－z2|＝|(1＋icosθ)－(sinθ－i)|＝＝＝≤＝＋1.答案：＋19．计算：(1)(－i)＋＋1；(2)－＋i；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．解：(1)原式＝(－)＋i＋1＝1－i.(2)原式＝＋i＝＋i.(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.10．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.解：z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i.又因为z＝13－2i，且x，y∈R，所以解得所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.[B能力提升]11．满足条件|z－2i|＋|z＋1|＝的点的轨迹是()A．椭圆B．直线C．线段D．圆解析：选C.|z－2i|＋|z＋1|＝表示动点Z到两定点(0，2)与(－1，0)的距离之和为常数，又点(0，2)与(－1，0)之间的距离为，所以动点的轨迹为以两定点(0，2)与(－1，0)为端点的线段．12．复数z1，z2分别对应复平面内的点M1，M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2＝________．解析：根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以OM1，OM2为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点，|OM|＝＝5，|M1M2|＝10.|z1|2＋|z2|2＝|OM1|2＋|OM2|2＝|M1M2|2＝100.答案：10013．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z＋1＋i|表示点(x，y)到点(－1，－)的距离．又因为点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，2所以圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.14．(选做题)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，求2x＋4y的最小值．解：因为|z－4i|＝|z＋2|，所以复数z对应的点在线段Z1Z2(其中Z1(0，4)，Z2(－2，0))的垂直平分线上，易求其轨迹方程为x＋2y＝3，所以2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝2＝4，当且仅当，即时取等号．所以2x＋4y的最小值为4.3
