课时达标训练(二十二)应用题A组——大题保分练1.如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解：法一：(1)如图(1)，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0，60)，C(170，0)，直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－.又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝.设点B的坐标为(a，b)，则kBC＝＝－，①kAB＝＝.②联立①②解得a＝80，b＝120.所以BC＝＝150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为rm，OM＝dm(0≤d≤60)．由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，即4x＋3y－680＝0.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝＝.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以即解得10≤d≤35.故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大．法二：(1)如图(2)，延长OA，CB交于点F.因为tan∠FCO＝，所以sin∠FCO＝，cos∠FCO＝.1因为OA＝60，OC＝170，所以OF＝OCtan∠FCO＝，CF＝＝，从而AF＝OF－OA＝.因为OA⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝.又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝，从而BC＝CF－BF＝150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝rm，OM＝dm(0≤d≤60)．因为OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO＝＝＝＝，所以r＝.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以即解得10≤d≤35.故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大．2．(2019·苏锡常镇一模)某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的垂直平分线OP恰是该抛物线的对称轴(如图)．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米．(1)求出n关于m的函数关系式；(2)当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值．解：(1)以路AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则A(－20，0)，B(20，0)，P(0，40)． 曲线段APB为抛物线的一段弧，∴可以设抛物线的解析式为y＝a(x－20)(x＋20)，将P(0，40)代入得40＝－400a，解得a＝－，∴抛物线的解析式为y＝(400－x2)． 点C在抛物线上，∴n＝(400－m2)，00.则S＝πrl＝πr＝π＝π＝π＝π，记f(h)＝＋h(h>0)，则f′(h)＝－＋1＝，令f′(h)＝0，得h＝6.当h∈(0，6)时，f′(h)<0，f(h)在(0，6)上单调递减；当h∈(6，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)在(6，＋∞)上单调递增．所以，当h＝6时，f(h)最小，此时S最小，最小值为18π.答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．4．(2019·南京四校联考)如图，某生态园区P的附近有两条相交成45°角...
