5.函数与导数1.设函数f(x)＝xlnx＋ax，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在上的最小值；(3)若g(x)＝f(x)＋ax2－(2a＋1)x，求证：a≥0是函数y＝g(x)在x∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件.(1)解由f(x)＝xlnx＋ax，得f′(x)＝lnx＋a＋1.当a＝1时，f′(x)＝lnx＋2，f(1)＝1，f′(1)＝2，求得切线方程为y＝2x－1.(2)解令f′(x)＝0，得x＝e－(a＋1).∴当e－(a＋1)≤，即a≥0时，x∈时f′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，此时f(x)min＝f＝.当e－(a＋1)≥e，即a≤－2时，x∈时f′(x)≤0恒成立，f(x)单调递减，此时f(x)min＝f(e)＝ae＋e.当
0，f(x)单调递增，此时f(x)min＝f(e－(a＋1))＝－e－(a＋1).(3)证明g′(x)＝f′(x)＋ax－(2a＋1)＝lnx＋ax－a＝lnx＋a(x－1)，∴当a≥0时，x∈(1,2)时，lnx>0，a(x－1)≥0，g′(x)>0恒成立，函数y＝g(x)在x∈(1,2)时单调递增，充分条件成立；又当a＝－时，代入g′(x)＝lnx＋a(x－1)＝lnx－x＋.设h(x)＝g′(x)＝lnx－x＋，x∈(1,2)，则h′(x)＝－＝>0(x∈(1,2))恒成立，∴当x∈(1,2)时，h(x)单调递增.又h(1)＝0，∴当x∈(1,2)时，h(x)>0恒成立.而h(x)＝g′(x)，∴当x∈(1,2)时，g′(x)>0恒成立，函数y＝g(x)单调递增，∴必要条件不成立.综上，a≥0是函数y＝g(x)在x∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件.2.已知函数f(x)＝lnx＋－1，a∈R.(1)若关于x的不等式f(x)>－x＋1在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；(2)设函数g(x)＝，证明：当a≥时，g(x)在[1，e2]上不存在极值.1(1)解由f(x)>－x＋1，得lnx＋－1>－x＋1.即a>－xlnx－x2＋2x在[1，＋∞)上恒成立.设m(x)＝－xlnx－x2＋2x，x≥1，则m′(x)＝－lnx－2x＋1. x∈[1，＋∞)，∴－lnx≤0，－2x＋1<0.∴当x∈[1，＋∞)时，m′(x)＝－lnx－2x＋1<0.∴m(x)在[1，＋∞)上单调递减.∴当x∈[1，＋∞)时，m(x)≤m(x)max＝m(1)＝1.∴a>1，即a的取值范围是(1，＋∞).(2)证明 g(x)＝－＋，x∈.∴g′(x)＝＋－＝.设h(x)＝2x－xlnx－2a，x∈[1，e2]，则h′(x)＝2－(1＋lnx)＝1－lnx.令h′(x)＝0，得x＝e.当1≤x0；当e0得01；若0<<1，即a>时，由g′>0得x>1或01，即00得x>或0时，函数g在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.4.已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数).(1)当a＝5时，求函数g(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x1，x2∈，使方程g(x)＝2exf(x)成立，求实数a的取值范围.解(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e，g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，故切线的斜率为g′(1)＝4e，所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).因为f′(x)＝lnx＋1，所以在(0，＋∞)上，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)－0＋f(x)↘极小值(最小值)↗当t≥时，在区间[t，t＋2]上，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(t)＝tlnt；当0
