学业分层测评(二十七)二倍角的三角函数(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于________．【解析】∵75°＋15°＝90°，∴cos75°＝sin15°，∴原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝1＋×＝【答案】2．若cosxcosy＋sinxsiny＝，则cos(2x－2y)＝________.【解析】cosxcosy＋sinxsiny＝cos(x－y)＝，∴cos(2x－2y)＝2cos2(x－y)－1＝2×－1＝－.【答案】－3．已知sin2α＝，α∈，则cosα－sinα＝________.【解析】∵<α<，∴cosα－sinα<0，cosα－sinα＝－＝－＝－＝－.【答案】－4．(2016·南京高一检测)若tanθ＋＝4，则sin2θ＝________.【解析】由tanθ＋＝＋＝＝4，得sinθcosθ＝，则sin2θ＝2sinθcosθ＝2×＝.【答案】5．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于________．【解析】∵sin2α＋cos2α＝，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝，∴cos2α＝.又α∈，∴cosα＝，sinα＝.∴tanα＝.【答案】6．已知tan＝，tan＝－，则tan(α＋β)＝________.【导学号：06460080】【解析】∵tan＝tan＝＝＝，∴tan(α＋β)＝＝＝.【答案】7．(2016·苏州高一检测)已知cos＝，则sin2x＝________.【解析】∵sin2x＝cos＝2cos2－1∴sin2x＝2×－1＝－.【答案】－8．若f(x)＝2tanx－，则f＝________.1【解析】f(x)＝2tanx－＝2＋2＝2＝＝＝.∴f＝＝8.【答案】8二、解答题9．若<α<2π，化简：.【解】∵<α<2π，∴<<π.∴原式＝＝＝＝＝＝－cos.10．已知cosx＝－，x∈(－π，0)．(1)求sin2x的值；(2)求tan的值．【解】(1)∵cosx＝－，x∈(－π，0)，∴sinx＝－.∴sin2x＝2sinxcosx＝.(2)由(1)得tanx＝∴tan2x＝＝.∴tan＝＝＝－7.能力提升]1．(2016·扬州高一检测)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________．【解析】y＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1，设t＝sinx(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－22＋，∴当t＝时，函数取得最大值.【答案】2．(2016·无锡高一检测)若sin＝，则cos＝________.【解析】∵＋＝，∴sin＝cos＝∴cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.【答案】－3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝________.【解析】由三角函数的定义可知tanθ＝2，∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－.【答案】－4．在平面直角坐标系xOy中，点P在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且OP·OQ＝－.(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．【解】(1)因为OP·OQ＝－，2所以sin2θ－cos2θ＝－，即(1－cos2θ)－cos2θ＝－，所以cos2θ＝，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝.(2)因为cos2θ＝，所以sin2θ＝，所以点P，点Q，又点P在角α的终边上，所以sinα＝，cosα＝.同理sinβ＝－，cosβ＝，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝－.3
