§3等比数列3.1等比数列第1课时等比数列的定义和通项公式课后篇巩固探究1.若{an}是等比数列,则下列数列不是等比数列的是()A.{an+1}B.{1an}C.{4an}D.{an2}答案:A2.在等比数列{an}中,2a4=a6-a5,则公比是()A.0B.1或2C.-1或2D.-1或-2解析:设公比为q(q≠0),由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,∴2=q2-q,∴q2-q-2=0,∴q=-1或q=2.答案:C3.若一个等比数列的首项为94,末项为23,公比为23,则这个数列的项数为()A.3B.4C.5D.6解析:在等比数列中,∵23=94·(23)n-1=(23)n-3,∴n-3=1,即n=4,故选B.答案:B4.若数列{an}满足an+1=4an+6(n∈N+)且a1>0,则下列数列是等比数列的是()A.{an+6}B.{an+1}C.{an+3}D.{an+2}解析:由an+1=4an+6可得an+1+2=4an+8=4(an+2),因为a1>0,所以an>0,从而an+2>0(n∈N+),因此an+1+2an+2=4,故{an+2}是等比数列.答案:D5.在等比数列{an}中,若a5·a6·a7=3,a6·a7·a8=24,则a7·a8·a9的值等于()A.48B.72C.144D.192解析:设公比为q,由a6·a7·a8=a5·a6·a7·q3,1得q3=243=8.所以a7·a8·a9=a6·a7·a8·q3=24×8=192.答案:D6.数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则数列{bn}的公比为()A.√2B.4C.2D.12解析:∵a1,a3,a7为等比数列{bn}中的连续三项,∴a32=a1·a7.设{an}的公差为d,则d≠0,∴(a1+2d)2=a1(a1+6d),∴a1=2d.∴公比q=a3a1=4d2d=2,故选C.答案:C7.(2017全国3高考)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.解析:设{an}的公比为q,则由题意,得{a1(1+q)=-1,a1(1-q2)=-3,解得{a1=1,q=-2,故a4=a1q3=-8.答案:-88.设数列{an}是等比数列,公比q=2,则2a1+a22a3+a4的值是.解析:∵q=2,∴2a1=a2,2a3=a4,∴2a1+a22a3+a4=2a22a4=1q2=14.答案:149.已知数列{an}满足a9=1,an+1=2an(n∈N+),则a5=.解析:由an+1=2an(n∈N+)知,数列{an}是公比q=an+1an=2的等比数列.所以a5=a1q4=a1q8q4=a9q4=116.答案:116210.若数列{an}为等差数列,且a2=3,a5=9,则数列{(12)an}一定是数列(填“等差”或“等比”).解析:设{an}的公差为d,则{a1+d=3,a1+4d=9,解得{a1=1,d=2,于是an=2n-1,从而(12)an=(12)2n-1=2·(14)n,设bn=2·(14)n,则bn+1bn=14,故{(12)an}一定是等比数列.答案:等比11.导学号33194017在等比数列{an}中,a1·a9=256,a4+a6=40,则公比q=.解析:∵a1a9=a12q8,a4a6=a1q3·a1q5=a12q8,∴a1a9=a4a6.可得方程组{a4+a6=40,a4·a6=256.解得{a4=32,a6=8或{a4=8,a6=32.∴q2=a6a4=832=14或q2=328=4.∴q=±12或q=±2.答案:-2,2,-12,1212.在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式.解(1)设{an}的公比为q(q≠0),由已知得16=2·q3,解得q=2,∴an=a1·qn-1=2×2n-1=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32,设{bn}的公差为d,则有{b1+2d=8,b1+4d=32,3解得{b1=-16,d=12,∴bn=-16+12(n-1)=12n-28.13.导学号33194018已知关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N+)的两根α,β满足6α-2αβ+6β=3,且a1=1.(1)试用an表示an+1;(2)求证:数列{an-23}为等比数列;(3)求数列{an}的通项公式.(1)解因为α,β是方程anx2-an+1x+1=0(n∈N+)的两根,所以{α+β=an+1an,αβ=1an.又因为6α-2αβ+6β=3,所以6an+1-3an-2=0.所以an+1=12an+13.(2)证明因为an+1=12an+13⇒an+1-23=12an-13⇒an+1-23an-23=12为常数,且a1-23=13,所以{an-23}为等比数列.(3)解令bn=an-23,则{bn}为等比数列,公比为12,首项b1=a1-23=13,所以bn=13·(12)n-1.所以an=bn+23=13·(12)n-1+23.所以数列{an}的通项公式为an=13·(12)n-1+23.14.导学号33194019容积为aL(a>1)的容器盛满酒精后倒出1L,然后加满水,再倒出1L混合溶液后又用水加满,如此继续下去,问第n次操作后溶液的浓度是多少?当a=2时,至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10%?4解开始的浓度为1,操作一次后溶液的浓度是a1=1-1a.设操作n次后溶液的浓度是an,则操作n+1次后溶液的浓度是an+1=an(1-1a).所以{an}构成以a1=1-1a为首项,q=1-1a为公比的等比数列.所以an=(1-1a)n,即第n次操作后溶液的浓度是(1-1a)n.当a=2时,由an=(12)n<110,得n≥4.因此,至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.5
