高考数学总复习 第8章 立体几何初步 第6课时 空间向量在立体几何中的应用课时训练（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

第八章立体几何初步第6课时空间向量在立体几何中的应用(理科专用)1.设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________．答案：4解析：α∥β(－2，－4，k)＝λ(1，2，－2)，∴λ＝－2，k＝4.2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．答案：30°解析：设l与α所成角为θ，则sinθ＝|cos120°|＝.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为________．答案：解析：建立空间直角坐标系，求出异面直线A1C与EF所成角的余弦值为.4.已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值为________．答案：－解析：因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，这时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)．因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2，2)．所以a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，设(a＋c)与(b＋c)所成角为θ，因此cosθ＝＝－.5.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为________．答案：解析：如图建立空间直角坐标系，则B(4，0，0)，C(4，4，0)，C1(4，4，2)，显然AC⊥平面BB1D1D，∴AC＝(4，4，0)为平面BB1D1D的一个法向量．又BC1＝(0，4，2)，∴cos〈BC1，AC〉＝＝＝.即BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.6.已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC.若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，则k＝________．答案：－或2解析：a＝(－1＋2,1－0，2－2)＝(1，1，0)，b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)．ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)． (ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(k－1，k，2)·(k＋2,k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，即2k2＋k－10＝0，∴k＝－或k＝2.7.在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．答案：30°解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P，则CA＝(2a，0，0)，AP＝，CB＝(a，a，0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0，1，1)，则cos〈CB，n〉＝＝＝，∴〈CB，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与AM所成的角的大小为________．答案：解析：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设|AB|＝1，则A(1，0，0)，M，O，P(1，y，1)，则AM＝，OP＝，∴OP·AM＝0，∴OP⊥AM.9.(2014·南京期初调研)在底面边长为2，高为1的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、C1D1的中点．(1)求异面直线A1E、CF所成的角；(2)求平面A1EF与平面ADD1A1所成锐二面角的余弦值．解：(1)以{DA，DC，DD1}为基底，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，1)，E(1，2，0)，F(0，1，1)，可得CF＝(0，－1，1)，A1E＝(－1，2，－1)，所以cos〈CF，A1E〉＝＝＝－，故异面直线A1E、CF所成的角为.(2)A1F＝(－2，1，0)，设向量n＝(x，y，z)为平面A1EF的法向量，则即取n＝(1，2，3).由于正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DC⊥平面ADD1A1，所以DC＝(0，2，0)为平面ADD1A1的法向量．又cos〈n，DC〉＝＝＝，所以平面A1EF与平面ADD1A1所成锐二面角的余弦值为.10.(2013·天津卷)如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明：B1C1⊥CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为.求线段AM的长．(1)证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)．易得B1C1＝(1，0，－1)，CE＝(－1，1，－1)，于是B1C1...