高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式复习课练习（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．数学归纳法的两个关注点．(1)关注用数学归纳法证题的步骤．第一步称“归纳奠基”，是递推链的起点；第二步称为“归纳递推”，是递推链具有传递性的保证．两步缺一不可，否则不能保证结论成立．(2)关注适用范围，数学归纳法适用于某些与正整数n有关的问题，这里n是任意的正整数，它可取无限多个值，但是，并不能说所有与正整数n有关的问题都可以用数学归纳法．2．数学归纳法的两个易错点．(1)在数学归纳法中，没有应用归纳假设．(2)归纳推理不到位．专题一数学归纳法在使用数学归纳法证明不等式时，一般来说，第一步，验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)”是问题的条件，而命题P(k＋1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键．[例❶]设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求证：对一切正整数n，有1＜an＜.证明：(1)当n＝1时，a1＞1，a1＝1＋a＜，命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，命题成立．即1＜ak＜，当n＝k＋1时，由递推公式，知ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1.同时，ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜，故当n＝k＋1时，命题也成立，即1＜ak＋1＜，综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1＜an＜.归纳升华用数学归纳法证明不等式的题型多种多样，所以不等式的证明是一个难点，在由n＝k成立，推导n＝k＋1也成立时，其他证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题．[变式训练]证明不等式＋＋…＋＜1(n≥2，n∈N*)．证明：先证明＋＋…＋＜1－(n≥2)，(*)对(*)运用数学归纳法证明：1(1)当n＝2时，(*)显然成立．(2)设n＝k时，不等式(*)成立，则＋＋…＋＜1－.当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＜1－＋＜1－＋＝1－＋＝1－.故当n＝k＋1时，不等式(*)成立．根据(1)和(2)知，对n∈N*且n≥2，不等式(*)成立，故原不等式成立.专题二归纳、猜想、证明思想的应用归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此务必要保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．[例2]数列{an}满足Sn＝2n－an.(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)的猜想．(1)解：当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，所以a1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，所以a2＝.当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，所以a3＝.当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，所以a4＝.由此猜想an＝(n∈N*)．(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立．②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，结论成立，即ak＝.当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，即ak＋1＝2＋ak－ak＋1，所以ak＋1＝＝＝，这表明当n＝k＋1时，结论成立．由①②知猜想的通项公式an＝成立．归纳升华归纳—猜想—证明的三步曲(1)计算：根据条件，计算若干项．(2)归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论．(3)证明：用数学归纳法证明．[变式训练]“设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，有f(1)＝1＞，f(3)＞1，f(7)＞，f(15)＞2，…”．试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明．解：数列1，3，7，15，…，通项公式为an＝2n－1，数列，1，，2，…，通项公式为an＝，所以猜想：f(2n－1)＞.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1＞，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，2即f(2k－1)＞.当n＝k＋1时，f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋＞f(2k－1)＋＋…＋,2k个＝f(2k－1)＋＞＋＝.所以当n＝k＋1时不等式也成立．据(1)(2)知对任何n∈N＋原不等式均成立．专题三转化和化归思想把所要证的平面几何问题转化，运用数学归纳法来解决，这体现了转化和化归的思想．一般将待解决的平面几何问题进行转化，使之化为我们熟悉的或容易解决的问题．[例3]设平面α内有n条直线，这n条直线把平面α分成互不垂叠的区域个数的最大值为f(n)，...