对数与对数函数知识精讲【同步教育信息】一.本周教学内容：3.2对数与对数函数二.教学目的1、理解对数的概念，能够根据对数定义进行对数式与指数式的互化；2、了解常用对数和自然对数的概念，掌握对数的基本性质；3、掌握对数运算的性质和对数换底公式，并应用之解决有关对数式的求值、化简及证明；4、会用计算器或查对数表求对数值，能解决有关的实际问题；5、掌握对数函数的概念、图象和性质，并能利用它们解决相关的问题；6、会根据对数函数的性质与图象，比较大小、讨论与对数函数有关的函数的单调性、奇偶性和最值问题；7、了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系。三.教学重点、难点1、对数的概念、基本性质及应用；2、对数函数的概念、性质及应用；3、指数与对数、指数函数与对数函数的关系；4、对反函数的概念的理解也是难点。四.知识分析（一）关于对数1、如何认识与理解对数？同学们知道，对于，我们可凭经验得到x＝2，而对，就无能为力了，于是我们引入了一种新的运算——对数运算：一般地，对于一个数，如果a的b次幂等于N，即，那么就称b是以a为底N的对数，记做。其中a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”。在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即。也就是说，指数式与对数式是同一种数量关系的两种不同的表达形式。学习时，应首先从指数式中理解对底数a和真数N的要求，其次对于对数的性质也可以通过指数式来证明和验证。常用对数：以10为底的对数，记做。自然对数：以e为底的对数，记做。2、对数式和指数式的关系是怎样的？我们知道了，指数式与对数式是同一种数量关系的两种不同的表达形式，它们是可以互相转化的，其关系可以用下图表示：由此可见，a、b、N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。于是在的前提下，指数恒等与对数恒等的转化如下：（1）（2）（3）指数的运算法则与对数的运算法则转化如下：（其中）（1）►令,则有。（2）►令,则有。（3）►令则有。3、关于换底公式：（1）证明：令即（2）推论：①②③4、在学习和理解对数时应注意以下几个问题：（1）牢固掌握对数式中各字母的取值范围“”，很容易记错。（2）关于对数的运算法则，要注意以下两点：①利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才成立。如是不成立的。②不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：（二）关于对数函数1、定义：一般地，函数叫做对数函数，其中x是自变量。2、对数函数的性质：（三）关于反函数学习反函数的概念必须抓住两点：一是函数是一一映射才有反函数；二是反函数的自变量与函数值的意义。（1）反函数的定义：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新函数的因变量，就称这两个函数互为反函数。（2）两个互为反函数的函数，它们的自变量与因变量互换，定义域与值域也互换了，对应法则互逆了。再加上x,y的互换，图象也关于直线y＝x对称了。（3）求反函数的步骤：一解x；二换x,y；三找出新自变量x的范围（即原函数的值域）。【典型例题】例1.求值：（1）（2）（3）解析：（1）（2）（3）点评：（1）注意计算公式的灵活运用；（2）同学们在学习时由于分不清导致计算错误的现象很多；（3）在进行对数运算中经常用到。例2.已知，求的值。解析：法1：，而，所以。法2：从而法3：从而点评：解法1借助指数变形来解；解法2与解法3是利用换底公式来解，显得较简明。应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可。例3.已知，则a，b，1的大小关系是________________解析：法1：由，是增函数，故b>a>1.法2：设，则有，从而。由已知，x>y>0，考虑到函数是增函数，所以，即b>a>1.点评：指数函数和对数函数的单调性在比较大小时用处很大，也很灵活。例4.求函数的值域和单调区间。解析：首先考察函数，及。故函数在（－1，1）上单增，在[1，3]上单减，且又因为函数是减函数，所以...
