（江苏专版）高考数学一轮复习 课时跟踪检测（十六）函数与导数的综合问题 理（含解析）苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP免费

课时跟踪检测（十六）函数与导数的综合问题1．已知函数f(x)＝lnx＋－(a∈R且a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x∈时，试判断函数g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m的零点个数．解：(1)f′(x)＝(x＞0)，当a＜0时，f′(x)＞0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，由f′(x)＝＞0，得x＞，由f′(x)＝＜0，得0＜x＜，∴函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当a＜0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)当x∈时，函数g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m的零点个数，等价于方程(lnx－1)ex＋x＝m的根的个数．令h(x)＝(lnx－1)ex＋x，则h′(x)＝ex＋1.由(1)知当a＝1时，f(x)＝lnx＋－1在上单调递减，在(1，e)上单调递增，∴当x∈时，f(x)≥f(1)＝0.∴＋lnx－1≥0在x∈上恒成立．∴h′(x)＝ex＋1≥0＋1＞0，∴h(x)＝(lnx－1)ex＋x在x∈上单调递增，∴h(x)min＝h＝－2e＋，h(x)max＝h(e)＝e.∴当m＜－2e＋或m＞e时，函数g(x)在上没有零点；当－2e＋≤m≤e时，函数g(x)在上有一个零点．2．已知函数f(x)＝xex.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)是否存在实数a使得对于任意的x1，x2∈(a，＋∞)，且x1＜x2，恒有＞成立？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．解：(1)因为f(x)＝xex，所以f′(x)＝(x＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)，f(x)有极小值f(－1)＝－，无极大值．(2)存在满足题意的实数a.理由如下：令g(x)＝＝(x＞a)，则＞等价于g(x)在(a，＋∞)上单调递增．又g′(x)＝，记h(x)＝(x2－ax－a)ex＋aea，则h′(x)＝[x2＋(2－a)x－2a]ex＝(x＋2)·(x－a)ex，故当a≥－2，且x＞a时，h′(x)＞0，h(x)在(a，＋∞)上单调递增．故h(x)＞h(a)＝0，从而g′(x)＞0，g(x)在(a，＋∞)上单调递增，满足题意；另一方面，当a＜－2，且a＜x＜－2时，h′(x)＜0，h(x)在(a，－2)上单调递减．故h(x)＜h(a)＝0，从而g′(x)＜0，g(x)在(a，－2)上单调递减，不满足题意．所以a的取值范围为[－2，＋∞)．3．已知函数f(x)＝ex＋ax＋b(a，b∈R)在x＝0处的导数值为0.(1)求实数a的值；(2)若f(x)有两个零点x1，x2，且x1＜x2，(ⅰ)求实数b的取值范围；(ⅱ)证明：x1＋x2＜0.解：(1)因为f′(x)＝ex＋a，所以f′(0)＝e0＋a＝1＋a，又f′(0)＝0，所以a＝－1.(2)(ⅰ)因为f(x)＝ex－x＋b，所以f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以f(x)在x＝0处取得极小值，也是最小值，且f(0)＝1＋b.因为f(x)有两个零点x1，x2，所以f(0)＝1＋b＜0，所以b＜－1，即实数b的取值范围是(－∞，－1)．(ⅱ)证明：因为f(x1)＝0，f(x2)＝0，所以ex1－x1＋b＝0①，ex2－x2＋b＝0②，由②－①得ex2－ex1＝x2－x1，即ex1(ex2－x1－1)＝x2－x1.令x2－x1＝t，t＞0，则ex1(et－1)＝t，所以ex1＝，ex2＝.要证x1＋x2＜0，只需证ex1ex2＜1，即证·＜1，即证t2et＜(et－1)2，即证t2et－(et)2＋2et－1＜0.令m(t)＝t2et－(et)2＋2et－1，则m′(t)＝et(t2＋2t＋2－2et)．令n(t)＝t2＋2t＋2－2et，则n′(t)＝2t＋2－2et.设φ(t)＝2t＋2－2et，则当t＞0时，φ′(t)＝2－2et＜0，所以当t＞0时，φ(t)单调递减，因为φ(0)＝0，所以当t＞0时，φ(t)＜0，则n′(t)＜0，所以当t＞0时，n(t)单调递减，又n(0)＝0，所以当t＞0时，n(t)＜0，则m′(t)＜0，所以当t＞0时，m(t)单调递减，因为m(0)＝0，所以当t＞0时，m(t)＜0.综上可知，原式得证．4．若对任意实数k，b都有函数y＝f(x)＋kx＋b的图象与直线y＝kx＋b相切，则称函数f(x)为“恒切函数”，设函数g(x)＝aex－x－pa，a，p∈R.(1)讨论函数g(x)的单调性；(2)已知函数g(x)为“恒切函数”．①求实数p的取值范围；②当p取最大值时，若函数h(x)＝g(x)ex－m为“恒切函数”，求证：0≤m＜.(参考数据：e3≈20)解：(1)g′(x)＝aex－1，当a≤0时，g′(x)＜0恒成立，函数g(x)在R上单调递减；当a＞0时，由g′(x)＞0，得x＞－lna；由g′(...