【成才之路】2016年春高中数学第1章数列3等比数列第4课时等比数列的综合应用同步练习北师大版必修5一、选择题1．已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为()A．514B．513C．512D．510[答案]D[解析]由已知得，解得q＝2或. q为整数，∴q＝2.∴a1＝2.∴S8＝＝29－2＝510.2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝3，S6＝27，则此等比数列的公比q等于()A．2B．－2C.D．－[答案]A[解析]得＝9，解得q3＝8.∴q＝2，故选A.3．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于()A．－6(1－3－10)B.(1－310)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)[答案]C[解析]本题考查等比数列的定义，前n项和的求法．3an＋1＋an＝0∴＝－＝qa2＝a1·q＝－a1＝－，∴a1＝4∴S10＝＝3(1－3－10)．4．在各项为正数的等比数列中，若a5－a4＝576，a2－a1＝9，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值是()A．1061B．1023C．1024D．268[答案]B[解析]由题意得a4(q－1)＝576，a1(q－1)＝9，∴＝q3＝64，∴q＝4，∴a1＝3，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝＝1023.5．等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C则()A．A＋B＝CB．B2＝ACC．(A＋B)－C＝B2D．A2＋B2＝A(B＋C)[答案]D[解析]若数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列．1由Sn＝A，S2n－Sn＝B－A，S3n－S2n＝C－B，得(B－A)2＝A(C－B)，A2＋B2＝A(B＋C)．6．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()A．6B．5C．4D．3[答案]C[解析]本题考查了等比数列和等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和、对数的运算性质．根据条件可知，等比数列的通项公式是an＝2×()n－4，设bn＝lgan＝lg2＋(n－4)lg，这是一个等差数列，所以它的前8项和是S8＝＝＝4.在等比数列中任意两项的关系时an＝amqn－m，一个各项为正的等差数列，取对数后所得到的数列是等差数列．二、填空题7．(2015·湖南理，14)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.[答案]3n－1[解析] 3S1,2S2，S3成等差数列，∴2×2(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3，∴a3＝3a2，∴q＝3.又 等比数列{an}，∴an＝a1qn－1＝3n－1.8．已知数列{an}中，an＝，则a9＝______________.设数列{an}的前n项和为Sn，则S9＝______________.[答案]256377[解析]a9＝28＝256，S9＝20＋22＋24＋26＋28＋3＋7＋11＋15＝377.三、解答题9．(2014·北京文，15)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3.所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝＝＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1，从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1.所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.10．已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12，(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和公式．[解析](1)设数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12，又a1＝2，得d＝2，∴an＝2n.2(2)由bn＝an·3n＝2n·3n，得Sn＝2·3＋4·32＋…＋(2n－2)·3n－1＋2n·3n①3Sn＝2·32＋4·33＋…＋(2n－2)·3n＋2n·3n＋1②①－②得－2Sn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2n·3n＋1＝3(3n－1)－2n·3n＋1，所以Sn＝＋n·3n＋1.一、选择题1．已知等比数列{an}中，公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝()A．100B．90C．120D．30[答案]B[解析] a2＋a4＋a6＋…＋a100＝a1q＋a3q＋a5q＋…＋a99q＝q(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝×60＝30∴a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝60＋30＝90.2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝()A．2B.C.D．3[答案]B[解析] ＝3，∴S6＝3S3，∴＝2， S3，S6－S3，S9－S6成等比，∴＝22，∴S9＝4S3＋S6＝7S3，∴＝＝，∴...
