第61课双曲线(本课对应学生用书第139-141页)自主学习回归教材1.双曲线的简单几何性质定义(1)第一定义:平面上,到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为正常数2a(小于两定点间距离2c)的动点轨迹叫作双曲线.(2)双曲线的定义用代数式表示为|MF1-MF2|=2a,其中2aF1F2时,动点轨迹不存在.(4)第二定义:平面上,到定点F的距离与到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的动点轨迹叫作双曲线图形标准方程22xa-22yb=1(a>0,b>0)22ya-22xb=1(a>0,b>0)几何性质范围|x|≥a|y|≥a焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)对称性关于x轴、y轴轴对称,关于原点中心对称实、虚轴长实轴(A1A2)长为2a,虚轴(B1B2)长为2b离心率e=ca=双曲线上任意一点到一个焦点F的距离与到这个焦点对应的准线l的距离之比准线方程x=±2acy=±2ac渐近线方程y=±baxy=±abx12.(1)等轴双曲线:实轴和虚轴相等的双曲线叫作等轴双曲线,也叫等边双曲线.(2)等轴双曲线离心率e=2两条渐近线垂直(位置关系)实轴长=虚轴长.(3)双曲线的离心率与ba=2-1e都是刻画双曲线的开口的宽阔程度的量.3.点P(x0,y0)和双曲线22xa-22yb=1的关系:(1)P在双曲线内202xa-202yb>1(含焦点);(2)P在双曲线上202xa-202yb=1;(3)P在双曲线外202xa-202yb<1.4.焦半径:双曲线上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段长度称作焦半径,分别记作r1=PF1,r2=PF2.(1)22xa-22yb=1(a>0,b>0).若点P在右支上,r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点P在左支上,r1=-ex0-a,r2=-ex0+a.(2)22ya-22xb=1(a>0,b>0).若点P在上支上,r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点P在下支上,r1=-ey0-a,r2=-ey0+a.5.焦点弦:AB为经过双曲线22ya-22xb=1(a>0,b>0)的焦点的弦,通径AB=22ba.1.(选修2-1P46练习1改编)双曲线216x-29y=1的离心率为.[答案]54[解析]c2=a2+b2=25,所以e2=22ca=2516,所以离心率为54.22.(选修2-1P47习题1改编)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的离心率为2,且过点(1,2),则曲线C的标准方程为.[答案]y2-x2=1[解析]因为曲线C的离心率为2,所以曲线为等轴双曲线,其方程可以设为x2-y2=λ.因为过点(1,2),所以λ=1-2=-1,标准方程为y2-x2=1.3.(选修2-1P46例1改编)若双曲线x2-my2=1的实轴长是虚轴长的2倍,则m=.[答案]44.(选修2-1P47习题2改编)经过点(-3,6),且渐近线为y=±3x的双曲线的方程是.[答案]29y-x2=1[解析]设双曲线方程为y2-9x2=t,则t=36-27=9,所以双曲线的方程为29y-x2=1.5.(选修2-1P47习题4改编)已知双曲线24x-22yb=1(b>0)的离心率为3,那么它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为.[答案]22[解析]依题意得242b=3,解得b=22,该双曲线的一个焦点坐标为(23,0),于是它的一个焦点到其中一条渐近线y=2x的距离d=22|223-0|(2)1=22.3
