高考大题专项练五高考中的解析几何高考大题专项练第10页1.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足⃗NP=❑√2⃗NM.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且⃗OP·⃗PQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),⃗NP=(x-x0,y),⃗NM=(0,y0).由⃗NP=❑√2⃗NM得x0=x,y0=❑√22y.因为M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则⃗OQ=(-3,t),⃗PF=(-1-m,-n),⃗OQ·⃗PF=3+3m-tn,⃗OP=(m,n),⃗PQ=(-3-m,t-n).由⃗OP·⃗PQ=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以⃗OQ·⃗PF=0,即⃗OQ⊥⃗PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.(1)解由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为(1,❑√22)或(1,-❑√22).所以AM的方程为y=-❑√22x+❑√2或y=❑√22x-❑√2.(2)证明当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<❑√2,x2<❑√2,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2,由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2).将y=k(x-1)代入x22+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以,x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0.从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.3.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解:由题知F(12,0).设直线l1:y=a,直线l2:y=b,则ab≠0,且A(a22,a),B(b22,b),P(-12,a),Q(-12,b),R(-12,a+b2).记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a||x1-12|,S△PQF=|a-b|2.由题设可得|b-a||x1-12|=|a-b|2,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得,2a+b=yx-1(x≠1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.4.(2019广东汕头二模)已知抛物线D:x2=4y,过x轴上一点E(不同于原点)的直线l与抛物线D交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),与y轴交于点C.(1)若⃗EA=λ1⃗EC,⃗EB=λ2⃗EC,求乘积λ1·λ2的值;(2)若E(4,0),过A,B分别作抛物线D的切线,两切线交于点M,证明:点M在定直线上,求出此定直线方程.解:(1)设E(t,0)(t≠0),C(0,m),由{⃗EA=λ1⃗EC,⃗EB=λ2⃗EC,得{(x1-t,y1)=λ1(-t,m),(x2-t,y2)=λ2(-t,m),解得{λ1=t-x1t,λ2=t-x2t,设直线l的斜率为k,其方程为y=k(x-t),由{y=k(x-t),x2=4y,得x2-4kx+4kt=0,当Δ=16k(k-t)>0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1·x2=4kt,所以λ1λ2=t2-(x1+x2)t+x1x2t2=t2-4kt+4ktt2=1.(2)设M(x,y),由x2=4y得y=x24,所以y'=x2.所以抛物线在A(x1,x124)处的切线方程为y-x124=x12(x-x1),即y=x1x2−x124,同理可得,抛物线在B(x2,x224)处的切线方程为y=x2x2−x224,由{y=x1x2-x124,y=x2x2-x224,得{x=x1+x22,y=x1x24.因为E(4,0),即t=4.所以由(1)得,x1+x2=4k,x1·x2=16k,所以{x=2k,y=4k,所以y=2x,即点M(x,y)在直线y=2x上.5.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为❑√53,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6❑√2.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若|AQ||PQ|=5❑√24sin∠AOQ(O为原点),求k的值.解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2a2=59,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=❑√2b.由|FB|·|AB|=6❑√2,可得ab=6,...
