高中数学 第四章 定积分 4.1.1 定积分的背景—面积和路程问题 4.1.2 定积分学业分层测评（含解析）北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

4.1.1定积分的背景——面积和路程问题4.1.2定积分(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对于以v＝v(t)在[0，t]内汽车作直线运动经过的路程S，下列叙述正确的是()A．将[0，t]n等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的s是S的不足估计值B．将[0，t]n等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的s是S的过剩估计值C．将[0，t]n等分，n越大，求出的s近似替代S的精确度越高D．将[0，t]n等分，当n越大时，求出的s就是S的准确值【解析】每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不一定是该区间上速度的最大值，n越大，所得估计值近似替代准确值的精确度越高，只有当n→＋∞时，估计值才是准确值．【答案】C2．(2016·菏泽高二检测)已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx＝()A．0B．16C．12D．8【解析】偶函数图像关于y轴对称，故f(x)dx＝2f(x)dx＝16.故选B.【答案】B3．设f(x)＝则f(x)dx的值是()A.x2dxB.2xdxC.x2dx＋2xdxD.2xdx＋x2dx【解析】被积函数f(x)是分段函数，故将积分区间[－1，1]分为两个区间[－1，0]和[0，1]，由定积分的性质知选D.【答案】D4．图412中阴影部分的面积用定积分表示为()图412A.2xdxB.(2x－1)dxC.(2x＋1)dxD.(1－2x)dx【解析】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx－1dx＝(2x－1)dx.【答案】B5．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝[f(x)－g(x)]dx求出的是()1【解析】定积分S＝[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方，对照各选项，知D中f(x)的图像不全在g(x)的图像上方．【答案】D二、填空题6．(2016·长春高二检测)定积分(－3)dx＝__________．【解析】由定积分的几何意义知，定积分(－3)dx表示由x＝1，x＝3与y＝－3，y＝0所围成图形面积的相反数．所以(－3)dx＝－(2×3)＝－6.【答案】－67．定积分|x|dx＝__________.【解析】如图，|x|dx＝＋2＝.【答案】8．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是________．【解析】将区间[0，1]四等分，得到4个小区间：，，，，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S＝×＋×＋×＋13×＝.【答案】三、解答题9．(2016·深圳高二检测)有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？【解】在时间区间[0，2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为(i＝1，2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1，2，…，n)，则显然有s＝ΣΔsi，取ξi＝(i＝1，2，…，n)．于是Δsi≈Δs′i＝v·Δt＝·，sn＝ΣΔsi＝·＋4＝8＋4.从而得到s的近似值s≈sn.s＝limsn＝lim＝8＋4＝12.2所以这段时间内行驶的路程为12km.10．(2016·济南高二检测)已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x2－2x3)dx.【解】(1)3x3dx＝3x3dx＝3＝3＝12.(2)6x2dx＝6x2dx＝6＝6＝126.(3)(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－.[能力提升]1．与定积分|sinx|dx相等的是()A.B．sinxdxC.sinxdx－sinxdxD．sinxdx＋sinxdx【解析】当x∈(0，π]时，sinx≥0；当x∈时，sinx<0.由定积分的性质可得|sinx|dx＝|sinx|dx＋|sinx|dx＝sinxdx＋(－sinx)dx＝sinxdx－sinxdx.【答案】C2．若|56x|dx≤2016，则正数a的最大值为()A．6B．56C．39D．2016【解析】由|56x|dx＝56|x|dx≤2016，得|x|dx≤36，∴|x|dx＝2xdx＝a2≤36，即0