4.1曲线与方程课后训练案巩固提升1.下列命题正确的是()A.方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距是2的直线B.△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-2,0),C(2,0),则中线AO的方程是x=0C.到x轴距离为5的点的轨迹方程是y=5D.曲线2x2-3y2-2x+m=0通过原点的充要条件是m=0解析:选项A中直线不过(0,2)点;选项B中中线AO是线段;选项C中轨迹方程应是y=±5.故选项A,B,C都错误,选D.答案:D2.已知P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点,P2(x2,y2)是直线l外一点,则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直线l'与直线l的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.斜交解析:∵点P1(x1,y1)在直线l:f(x,y)=0上,∴f(x1,y1)=0.∴f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=f(x,y)+f(x2,y2)=0,即l'为f(x,y)=-f(x2,y2).又∵点P2(x2,y2)在直线l外,则f(x2,y2)=k≠0.∴l'为f(x,y)=-k,即f(x,y)+k=0.答案:A3.▱ABCD的顶点A,C的坐标分别为(3,-1),(2,-3),顶点D在直线3x-y+1=0上移动,则顶点B满足的方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-12=0D.3x-y-9=0解析:设AC,BD交于点P,∵点A,C的坐标分别为(3,-1),(2,-3),∴P点坐标为.设B为(x,y),则D为(5-x,-4-y),∵点D在直线3x-y+1=0上,∴15-3x+4+y+1=0,即3x-y-20=0.答案:A4.方程4x2-y2+4x+2y=0表示的曲线是()A.一个点B.两条互相平行的直线C.两条互相垂直的直线D.两条相交但不垂直的直线解析:∵4x2-y2+4x+2y=0,∴(2x+1)2-(y-1)2=0,∴2x+1=±(y-1),∴2x+y=0或2x-y+2=0,这两条直线相交但不垂直.答案:D5.已知A(-1,0),B(1,0),且=0,则动点M的轨迹方程是()A.x2+y2=1B.x2+y2=2C.x2+y2=1(x≠±1)D.x2+y2=2(x≠±2)1解析:设M(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),由=0,得(-1-x)·(1-x)+y2=0,即x2+y2=1.答案:A6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P满足的方程的曲线所围成的图形的面积为()A.πB.4πC.8πD.9π解析:设P为(x,y),由|PA|=2|PB|,得=2,即(x-2)2+y2=4,∴点P满足的方程的曲线是以2为半径的圆,其面积为4π.答案:B7.已知0≤α<2π,点P(cosα,sinα)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为.解析:(cosα-2)2+sin2α=3,得cosα=,所以α=.答案:8.导学号90074081已知☉O的方程是x2+y2-2=0,☉O'的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向☉O和☉O'所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是.解析:由☉O:x2+y2=2,☉O':(x-4)2+y2=6,知两圆相离.设由动点P向☉O和☉O'所引的切线与☉O和☉O'的切点分别为T,Q,则|PT|=|PQ|,而|PT|2=|PO|2-2,|PQ|2=|PO'|2-6,∴|PO|2-2=|PO'|2-6.设P(x,y),即得x2+y2-2=(x-4)2+y2-6,即x=.答案:x=9.如图,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.解圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1.圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=,c=5,于是b2=c2-a2=.2∴动圆圆心M的轨迹方程为=1.10.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,l1交x轴于点A,l2交y轴于点B,求线段AB的中点M的轨迹方程.解法一如图,设点M的坐标为(x,y).∵M为线段AB的中点,∴点A的坐标为(2x,0),点B的坐标为(0,2y).∵l1⊥l2,且l1,l2过点P(2,4),∴PA⊥PB,∴kPA·kPB=-1.而kPA=(x≠1),kPB==2-y,∴=-1(x≠1).整理,得x+2y-5=0(x≠1).∵当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),∴线段AB的中点坐标是(1,2),也满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.解法二如图,设M的坐标为(x,y),则A,B两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接PM.∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|.而|PM|=,|AB|=,∴2,化简,得x+2y-5=0为所求轨迹方程.3解法三如图,设点M的坐标为(x,y),连接PM,OM.由l1⊥l2,知A,O,B,P四点共圆,AB为圆的直径,M为圆心,则有|OM|=|MP|.∴=.化简,得x+2y-5=0为所求轨迹方程.4
