回扣验收特训（二）数列1．设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则()A．d>0B．d<0C．a1d>0D．a1d<0解析：选D∵{2a1an}为递减数列，∴＝2a1an＋1－a1an＝2a1d<1＝20，∴a1d<0，故选D.2．在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝()A．24B．48C．66D．132解析：选D由a9＝a12＋6得，2a9－a12＝12，由等差数列的性质得，2a9－a12＝a6＋a12－a12＝12，则a6＝12，所以S11＝＝＝132，故选D.3．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于()A．－165B．－33C．－30D．－21解析：选C由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.4．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a1＝2a8－3a4，则＝()A.B.C.D.解析：选A由题意可得，a1＝2a1＋14d－3a1－9d，∴a1＝d，又＝＝＝＝，故选A.5．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2018项之和S2018等于()A．1B．2010C．4017D．0解析：选C由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1.故数列的前n项依次为2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009，….由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.∵2018＝6×336＋2，∴S2018＝S2＝4017.6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝()A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－1解析：选D设等比数列{an}的公比为q，∵∴由①÷②可得＝2，∴q＝，代入①解得a1＝2，∴an＝2×n－1＝，∴Sn＝＝4，∴＝＝2n－1.7．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.解析：由3S1,2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.答案：3n－118．已知数列{an}中，a1＝1，(2n＋1)an＝(2n－3)an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________．解析：由题意可得＝(n≥2)，所以＝，＝，＝，…＝，上述各式左右相乘得＝(n≥2)，解得an＝(n≥2)，又a1＝1符合，所以，通项公式an＝(n∈N*)．答案：an＝9．在数列{an}中，an>0，a1＝，如果an＋1是1与的等比中项，那么a1＋＋＋＋…＋的值是________．解析：由题意可得，a＝⇒(2an＋1＋anan＋1＋1)·(2an＋1－anan＋1－1)＝0⇒an＋1＝⇒an＋1－1＝⇒＝－1，∴＝－(n－1)＝－n－1⇒an＝⇒＝，∴a1＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝.答案：10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，数列{bn}满足b1＝3，b2＝6，且{bn－an}为等差数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由题意知数列{an}是首项a1＝1，公比q＝2的等比数列，所以an＝2n－1.因为b1－a1＝2，b2－a2＝4，所以数列{bn－an}的公差d＝2，所以bn－an＝(b1－a1)＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，所以bn＝2n＋2n－1.(2)Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(1＋2＋4＋…＋2n－1)＝＋＝n(n＋1)＋2n－1.11．Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．解：(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由于an>0，可得an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3×22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；2(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)由已知，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1，①从而22·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1.②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．3
