基本初等函数一、基础知识梳理1.指数函数的图象和性质（1）指数函数的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质①定义域：R②值域：（0，+∞）③图象过定点（0，1）④在R上是增函数在R上是减函数（2）应用指数函数性质比较大小比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时，直接比较指数即可；当底数和指数不同时，要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.2．对数运算性质如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，则有（1）；（2）；（3）.3．对数换底公式及对数恒等式：（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0），推论：，对数恒等式：（a＞0，a≠1，N＞0）.4．对数函数的图象和性质（1）对数函数的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质（1）定义域：（0，+∞）（2）值域：R（3）图象过定点（1，0）（4）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数（2）应用对数函数性质比较大小[典型例题]例1：选择题（1）指数函数①f（x）＝mx；②g（x）＝nx满足不等式1＞n＞m＞0，则它们的图象是（）分析：此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.解法一：由0＜m＜n＜1可知①②应为两条递减的曲线，故只可能是C或D，进而再判断①②与n和m的对应关系，此时判断的方法很多，不妨选特殊点法，令x＝1，①②对应的函数值分别为m和n，由m＜n可知应选C.解法二：只要按照题目条件的要求来取m和n，画出草图后，看它的图形走势和哪个相近即便是正确的选项.取的草图（如下图所示），则见m在左上方，n对应的图象在右下方，对应的选项是C.答案：C点评：比较而言，还是第二种方法更简便些.但对学生的思维要求较高，不仅要求迅速画出略图，而且能对m、n的定位进行判断.如果不注意原题中的条件：1＞n＞m＞0，而取m=2，n=3，将会出现误选B的情形.（2）曲线C1、C2、C3、C4分别是指数函数y＝ax、y＝bx、y＝cx和y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（）A.a＜b＜1＜c＜dB.a＜b＜1＜d＜cC.b＜a＜1＜c＜dD.b＜a＜1＜d＜c分析：首先可以根据指数函数单调性，确定c＞1，d＞1，0＜a＜1，0＜b＜1，在y轴右侧令x＝1，对应的函数值由小到大依次为b、a、d、c，故应选D.做该题时，可以考虑画出草图帮助思考.解：由于选项中的A、B、C、D只是和1有大小的比较，在确定c＞1，d＞1，0＜a＜1，0＜b＜1时，可以再画出具体图象的草图.进而得到结果.比如说取a=，b=，c=3，d=2时，有如下各对应函数的图象（如右图所示），则对比已知中给出的图象，可以判别出a、b、c、d到底是哪个底数，进而得到判断.答案：D点评：这种类型的题目是比较典型的数形结合的题目，它的主要目的是提高学生识图、用图的意识.无论转化的方式如何，都要求能迅速地画出函数略图，判断清楚函数的走势，并要求明确底数和1的关系.另一个趋势是在右边的图象底数越大越靠近y轴，在左边的图象的走势是底数越小越靠近y轴.（3）（2003年北京，理）设，则（）A.y3＞y1＞y2B.y2＞y1＞y3C.y1＞y2＞y3D.y1＞y3＞y2分析：把给出的三个函数化为同底的指数式，y1=21.8，y2=21.32，y3=21.5，再根据指数函数y=2x是增函数即可判断y1＞y3＞y2.答案：D（4）某债务市场发行三种债务券，P种面值为100元，一年到期本息和为103元；Q种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；R种面值为97元，一年到期本息和为100元，作为购买者，分析三种债券的收益，从小到大的排列为（）A.Q，P，RB.P，R，QC.P，Q，RD.R，P，Q分析：设这三种面值的半年利率分别为x、y、z，则按前面说的模型可知100（1+x）2=103，50（1+y）=51.4，97（1+z）2=100.经计算比较可知y＞z＞x.答案：B（5）下图是对数函数y=logax当底数a的值分别取、、、时所对应的图象，则相应于C1、C2、C3、C4的底数a的值依次是A.，，，B.，，，C.，，，D.，，，分析：因为底数a大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a越大，图象就越靠近x轴；底数a大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a越小，图象就越靠近x轴，故选A.答案：A例2．富兰克林（BenjaminFranklin，1706～1790）是美国著名的科学家、社会活动家，他的业绩遍及十九个科技...
