课时训练10等比数列的通项公式1.已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于()A.2B.4C.8D.16答案:C解析:等比数列{an}中,a3a11==4a7,解得:a7=4,等差数列{bn}中,b5+b9=2b7=2a7=8.2.等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则an=()A.(-2)n-1B.-(-2)n-1C.(-2)nD.-(-2)n答案:A解析:∵|a1|=1,∴a1=1或a1=-1.∵a5=-8a2,∴q3=-8,∴q=-2.又a5>a2,即a2q3>a2,∴a2<0.而a2=a1q=-2a1<0,∴a1=1.∴数列{an}是首项为1,公比为-2的等比数列.故an=1×(-2)n-1=(-2)n-1.4.若一个项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q=0的两个根,则此数列的各项积是.答案:qm解析:由题意得,amam+1=q,此数列各项积为(amam+1)m=qm.5.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=.答案:16解析:∵2a3-+2a11=2(a3+a11)-=4a7-=0,∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8==16.6.已知6,a,b,48成等差数列,6,c,d,48成等比数列,则a+b+c+d=.答案:90解析:由6,a,b,48成等差数列,得a+b=6+48=54,由6,c,d,48成等比数列,得q3==8,q=2,故c=12,d=24,从而a+b+c+d=90.7.(2016课标全国高考丙卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.(导学号51830098)解:(1)由题意得a2=,a3=.(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以.故{an}是首项为1,公比为的等比数列,因此an=.8.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn与an满足关系Sn=2-an(n∈N*).(1)求an+1与an的关系式,并求a1的值;(2)证明:数列是等比数列,并求{an}的通项公式.解:(1)∵Sn=2-an,①∴Sn+1=2-an+1.②1②-①得an+1=an-an+1,即an+1=an,即an+1=an.而a1=2-a1,∴a1=.(2)由(1)知,而,∴是以为首项,以为公比的等比数列,∴,∴an=.9.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}唯一,求a的值.解:(1)设{an}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0,解得:q1=2+,q2=2-.∴{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.(2)设{an}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0(*).由a>0得Δ=a2+a>0,故方程(*)有两个不同的实根.由{an}唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a=.10.等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10.(1)求实数a1和d的值.(2)b16是不是{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.(导学号51830099)解:(1)设数列{an},{bn}的通项公式分别为an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1=a1dn-1.由即3d=a1(d3-1),9d=a1(d9-1).以上两式相除,整理得d6+d3-2=0.解得:d3=1或d3=-2.∵d≠1,∴d3=-2.∴d=-.代入原方程中,解得:a1=.故a1=,d=-.(2)由(1)得,数列{an},{bn}通项公式分别为an=(2-n)·,bn=-(-)n.故b16=-(-)16=-32.由(2-n)=-32,解得:n=34.故b16为an的第34项.2
