（江苏专用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 空间向量及其运算 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第八章立体几何8.5空间向量及其运算理1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.推论如图所示，点P在l上的充要条件是OP＝OA＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB＝a，则①可化为OP＝OA＋tAB或OP＝(1－t)OA＋tOB.(2)共面向量定理如果两个量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.推论的表达式为MP＝xMA＋yMB或对空间任意一点O，有OP＝OM＋xMA＋yMB或OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中x＋y＋z＝1.(3)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.1②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面.(√)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).(×)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(×)(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.(√)(6)对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面.(×)1.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则向量BM＝(用a，b，c表示).答案－a＋b＋c解析BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.2.与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是.答案和解析因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4，5)＝±(－3，－4,5).3.如图，在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝(用a，b，c表示).2答案a＋b＋c解析OE＝OA＋OD＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c.4.(教材改编)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为.答案1或－3解析依题意得解得或5.(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为.答案解析|EF|2＝EF2＝(EC＋CD＋DF)2＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|EF|＝，∴EF的长为.题型一空间向量的线性运算例1(1)已知在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则MN＝(用a，b，c表示).(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.①化简A1O－AB－AD＝；②用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝.答案(1)－a＋b＋c(2)①A1A②AB＋AD＋AA1解析(1)显然MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝－a＋b＋c.(2)①A1O－AB－AD＝A1O－(AB＋AD)＝A1O－AO＝A1O＋OA＝A1A.3②OC＝AC＝(AB＋AD)，∴OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1＝AB＋AD＋AA1.引申探究1.若本例(1)中...