（江苏专用）高考数学大一轮复习 第六章 第35课 平面向量的平行与垂直要点导学-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第六章第35课平面向量的平行与垂直要点导学要点导学各个击破两个向量的垂直问题在△ABC中,设AB�=(2,3),AC�=(1,k),且△ABC是直角三角形,求k的值.[思维引导]注意角A,角B,角C都可能是直角,求解时要分类讨论.[解答]AB�-AC�=CB�=(1,3-k).若∠A=90°,则AB�·AC�=02+3k=0k=-23.若∠B=90°,则AB�·CB�=02+3(3-k)=0k=113.若∠C=90°,则AC�·CB�=01+k(3-k)=0k=3132.综上,k=-23或k=113或k=3132.[精要点评]两个向量互相垂直,就是两个不为0的向量的数量积为0.(2014·重庆卷改编)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,那么实数k=.[答案]3[解析]因为2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6),又(2a-3b)⊥c,所以(2k-3)×2+(-6)=0,解得k=3.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.若|a-b|=2,求证:a⊥b.[证明]由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2.又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b.向量的平行(共线)问题设向量OA�=(k,12),OB�=(4,5),OC�=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线?[思维引导]求出向量AB�与AC�,再利用共线向量基本定理.1[解答]方法一:要使A,B,C三点共线,则需向量AB�与AC�共线.所以存在实数λ,使得AB�=λAC�.而AB�=OB�-OA�=(4-k,-7),AC�=OC�-OA�=(10-k,k-12).所以(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即4-(10-),-7(-12),kkk解得k=-2或11.方法二:因为AB�=OB�-OA�=(4-k,-7),AC�=OC�-OA�=(10-k,k-12),若向量AB�与AC�共线,则(4-k)(k-12)=7(10-k),解得k=-2或11.[精要点评](1)将A,B,C三点共线转化为向量AB�与AC�共线.(2)向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质相同,在解决具体问题时要注意选择有利于解题的形式.已知OA�,OB�不共线,OP�=aOA�+bOB�,求证:A,P,B三点共线的充要条件是a+b=1.[证明]先证必要性:若A,P,B三点共线,则存在实数λ,使得AP�=λAB�,即OP�-OA�=λ(OB�-OA�),所以OP�=(1-λ)OA�+λOB�.因为OP�=aOA�+bOB�且OA�,OB�不共线,所以a=1-λ,b=λ,所以a+b=1.再证充分性:AP�=OP�-OA�=(a-1)OA�+bOB�=b(OB�-OA�)=bAB�,所以AP�与AB�共线,所以A,P,B三点共线.综上所述,A,P,B三点共线的充要条件是a+b=1.与向量平行(垂直)有关的综合问题已知平面向量a=(1,2sinθ),b=(5cosθ,3).(1)若a∥b,求sin2θ的值;(2)若a⊥b,求tan4的值.[思维引导]由向量的平行和垂直的坐标公式可将条件转化为关于θ的三角函数关系式,从而求解.[解答](1)因为a∥b,所以1×3-2sinθ×5cosθ=0,2即5sin2θ-3=0,所以sin2θ=35.(2)因为a⊥b,所以1×5cosθ+2sinθ×3=0,所以tanθ=-56.所以tan4=5-1651--16=111.[精要点评]注意三角公式的运用.(2014·无锡期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosC=310.(1)若CB�·CA�=92,求c的最小值;(2)设向量x=(2sinB,-3),y=（cos2B,1-2sin22B）,且x∥y,求sin(B-A)的值.[解答](1)因为CB�·CA�=92,所以abcosC=92,所以ab=15.所以c2=a2+b2-2abcosC≥2ab-2ab×310=21.因为c>0,所以c≥21,所以c的最小值为21.(2)因为x∥y,所以2sinB21-22Bsin+3cos2B=0,2sinBcosB+3cos2B=0,即sin2B+3cos2B=0,所以tan2B=-3,因为B∈(0,π),所以2B=23或53,所以B=3或56.因为cosC=310<12,所以C>3,所以B=56舍去,所以B=3.所以sin(B-A)=sin[B-(π-B-C)]=sin-3C3=sinCcos3-cosCsin3=9110×12-310×32=91-3320.已知向量a=3,2cosx,b=(sin2x,-cosx),f(x)=a·b-12.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=0.若向量m=(1,sinA)与n=(2,sinB)共线,求a,b的值.[规范答题]f(x)=a·b-12=32sin2x-cos2x-12=sin2-6x-1.(3分)因为f(C)=0,所以sin2-6C=1.因为C∈(0,π),则-6<2C-6<116,所以2C-6=2,所以C=3.(6分)因为m,n平行,所以sinB-2sinA=0,所以b-2a=0.(10分)又c2=a2+b2-2abcosC,所以a2+b2-ab=3.所以a=1,b=2.(14分)1.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=.[答案]-32.已知向量a=(1,k),b=(9,k-6).若a∥b,则实数k=.[答案]-3443.(2014·韶关一模)已知向量AB�与AC�的夹角为120°,且|AB�|=2,|AC�|=3.若AP�=λAB�+AC�,且AP�⊥BC�,则实数λ的值为.[答案]127[解析]由题意得AB�·AC�=-3,AP�·BC�=(λAB�+AC�)·(AC�-AB�)=λAB�·AC�-λ(AB�)2+(AC�)2-AC�·AB�=0,得-3λ-4λ+9+3=0,解得λ=127.4.(2014·济南模拟)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若AB�⊥a,则实数k的值为.[答案]-1[解析]由已知得AB�=(2,3),因为AB�⊥a,所以2×(2k-1)+3×2=0,解得k=-1.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第69-70页).5