（江苏专版）高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第8讲 圆锥曲线中的热点问题分层演练直击高考 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第8讲圆锥曲线中的热点问题1．(2018·镇江调研)已知点A(0，2)及椭圆＋y2＝1上任意一点P，则PA的最大值为________．[解析]设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，所以PA2＝x＋(y0－2)2.因为＋y＝1，所以PA2＝4(1－y)＋(y0－2)2＝－3y－4y0＋8＝－3＋.因为－1≤y0≤1，而－1<－<1，所以当y0＝－时，PA＝，即PAmax＝.[答案]2．设椭圆＋＝1(m＞1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为________．[解析]因为m2＞m2－1，所以m2＝a2，m2－1＝b2.所以c2＝1.又3＋1＝2a⇒a＝2，所以dP－l右＝＝＝2.[答案]23．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为________．[解析]因为一条渐近线方程是y＝x，所以＝.①因为双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上，所以c＝6.②又c2＝a2＋b2，③由①②③知，a2＝9，b2＝27，此双曲线方程为－＝1.[答案]－＝14．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋PC的最小值为________．[解析]由题意得圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圆心C的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当m＋PC最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即m＋PC＝＝.[答案]5．(2018·南通质量检测)若F(c，0)是双曲线－＝1(a>b>0)的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为，则该双曲线的离心率e＝________．[解析]设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tanθ＝，tan2θ＝，因此△OAB的面积可以表示为·a·atan2θ＝＝，解得＝，则e＝.[答案]6．若直线y＝kx交椭圆＋y2＝1于A、B两点，且AB≥，则k的取值范围为________．[解析]由得x2＝.不妨设由两点间距离公式得AB2＝≥10，解得k2≤.所以k的取值范围为－≤k≤.[答案]7．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若AF＝λFB(λ＞1)，则λ的值为________．[解析]根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AF＝λFB，得＝λ，故－y1＝λy2，即λ＝.设直线AB的方程为y＝，联立直线与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0.故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p2，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ＞1，故λ＝4.[答案]48．(2018·湖北省华中师大附中月考)已知F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，抛物线的准线与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于A、B两点．若△AFB为直角三角形，则双曲线的离心率为________．[解析]设AB与x轴交点为M，由△AFB为直角三角形，则它为等腰直角三角形，因此有MA＝MB＝MF，抛物线的准线方程为x＝－，把x＝－代入双曲线的渐近线方程y＝±x，得A，B的纵坐标为±，因此有＝p，所以b＝2a，c＝＝a，因此e＝＝.[答案]9．(2018·无锡调研)设F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若在其右准线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则该椭圆的离心率的取值范围是________．[解析]如图，设右准线与x轴的交点为H，则PF2≥HF2.又因为F1F2＝PF2，所以F1F2≥HF2，即2c≥－c，所以3c2≥a2.所以e2≥，即e≥.又因为e<1，所以e∈.[答案]10．已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若AB＝5，则满足条件的l的条数为________．[解析]因为a2＝4，b2＝5，c2＝9，所以F(3，0)，若A，B都在右支上，当AB垂直于x轴时，将x＝3代入－＝1得y＝±，所以AB＝5，满足题意；若A，B分别在两支上，因为a＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4<5，所以满足|AB|＝5的直线有2条，且关于x轴对称．综上，一共有3条．[答案]311．(2018·东北三校联合模拟)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OA·OB＝－16，求证：直线AB恒过定点．[解](1)设P(x，y)，则＝(y＋1)＋1⇒x2＝8y.所以E的方程为x2＝8y.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入x2＝8y中，得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋...