解答题满分练11.如图，已知直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.(1)求证：AB⊥DE；(2)在线段EA上是否存在点F，使得EC∥平面FBD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(1)证明取AB的中点O，连结OE，OD.因为EB＝EA，所以OE⊥AB.因为四边形ABCD为直角梯形，AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD.又OD∩OE＝O，OE，OD⊂平面EOD，所以AB⊥平面EOD，又DE⊂平面EOD，所以AB⊥DE.(2)解连结CA交BD于点M，由AB∥CD可得＝＝.假设线段EA上存在点F，使得EC∥平面FBD，又平面ACE∩平面FBD＝FM，故EC∥FM，从而＝＝，故＝，所以当＝时，EC∥平面FBD.2.(2018·江苏省常州市三校联考)已知a＝，b＝(ω>0)，函数f(x)＝a·b，函数f(x)的最小正周期为2π.(1)求函数f(x)的表达式；(2)设θ∈，且f＝＋，求cosθ的值.解(1)f(x)＝a·b＝－sinωx＝－2sin， 为函数f(x)的最小正周期为2π，∴＝2π，解得ω＝1.∴f(x)＝－2sin.(2)由f(θ)＝＋，1得sin＝－. θ∈∴θ－∈，∴cos＝，∴cosθ＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.3.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度).(1)求θ关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？解(1)扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，∴θ＝(0
b>0)的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点.当直线PB1的方程为y＝x＋3时，线段PB1的长为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点Q满足：QB1⊥PB1,QB2⊥PB2.求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值.(1)解设P.在y＝x＋3中，令x＝0，得y＝3，从而b＝3.由得＋＝1.2∴x0＝－. PB1＝＝，∴4＝·，解得a2＝18.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)证明设P(x0，y0)，Q(x1，y1).方法一直线PB1的斜率为＝，由QB1⊥PB1，则直线QB1的斜率为＝－.于是直线QB1的方程为y＝－x＋3.同理，QB2的方程为y＝－x－3.联立两直线方程，消去y，得x1＝. P在椭圆＋＝1上，∴＋＝1，从而y－9＝－.∴x1＝－.∴＝＝2.方法二设直线PB1,PB2的斜率为k,k′，则直线PB1的方程为y＝kx＋3.由QB1⊥PB1，直线QB1的方程为y＝－x＋3.将y＝kx＋3代入＋＝1，得x2＋12kx＝0， P是椭圆上异于点B1,B2的点，∴x0≠0，从而x0＝－. P在椭圆＋＝1上，∴＋＝1，从而y－9＝－.∴k·k′＝·＝＝－，得k′＝－.由QB2⊥PB2，得直线QB2的方程为y＝2kx－3.联立得x＝，即x1＝.∴＝＝＝2.5.设函数f(x)＝x－asinx(a>0).(1)若函数y＝f(x)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；(2)设a＝，g(x)＝f(x)＋blnx＋1，g′(x)是g(x)的导函数.①若对任意的x>0，g′(x)>0，求证：存在x0，使g(x0)<0；②若g(x1)＝g(x2)(x1≠x2)，求证：x1x2<4b2.(1)解由题意，得f′＝1－acosx≥0对x∈R恒成立. a>0，∴≥cosx对x∈R恒成立，1PBk1QBk1212PBBQBBSS1212PBBQBBSS3 (cosx)max＝1，∴≥1，从而00，使g′＝－1－cos<0，不合题意.∴b>0.取x0＝，则00，使g<0.②依题意，不妨设01.由(1)知函数y＝x－sinx单调递增，则x2－sinx2>x1－sinx1，从而x2－x1>sinx2－sinx1. g(x1)＝g(x2)，∴x1－sinx1＋blnx1＋1＝x2－sinx2＋blnx2＋1...
