第10课时生活中的优化问题举例基础达标(水平一)1.有一长为16m的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为().A.4m2B.8m2C.12m2D.16m2【解析】设矩形一边长为x(00),y'=-x2,令y'=0,得x=25,当x∈(0,25)时,y'>0;当x∈(25,+∞)时,y'<0.所以当x=25时,y取得极大值,也是最大值.【答案】C3.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时,t的值为().A.1B.C.D.【解析】令F(x)=f(x)-g(x)=x2-lnx,∴F'(x)=2x-.令F'(x)=0,得x=或x=-(舍去),∴F(x)在x=处最小.【答案】D4.某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=-+400x,0≤x≤390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是().1A.150B.200C.250D.300【解析】由题意可得总利润P(x)=-+300x-20000,0≤x≤390,则P'(x)=-+300.由P'(x)=0,得x=300.当0≤x<300时,P'(x)>0;当300时,y'>0.所以当x=时周长最小.【答案】6.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品定价为P元,则销售量Q(单位:件)与定价P(单位:元)有如下关系:Q=8300-170P-P2.则该商品定价为元时,毛利润L最大.【解析】由题意得L=P·Q-20Q=-P3-150P2+11700P-166000(P>0),∴L'=-3P2-300P+11700.令L'=0,得P=30或P=-130(舍去).当P∈(0,30)时,L'>0;当P∈(30,+∞)时,L'<0,∴当P=30时,L取得极大值,也是最大值.故当定价为30元时,毛利润最大为L=23000元.【答案】307.某种新型快艇在某海域匀速行驶中,每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+3(00,h(x)是单调递增函数.所以当x=60时,h(x)min=≈8.7.故当快艇以60千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少,最少约为8.7升.拓展提升(水平二)8.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30千米/小时,当速度为10千米/小时时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)是每小时400元.如果甲、乙两地相距800千米,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为().A.30千米/小时B.25千米/小时C.20千米/小时D.10千米/小时【解析】设航速为v(0≤v≤30),每小时燃料费为m,则m=kv3,∵v=10时,m=25,代入上式得k=,∴总费用y=·m+×400=20v2+,∴y'=40v-.令y'=0,得v=20.经判断知v=20时,y最小,故选C.【答案】C9.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为().A.10B.15C.25D.503【解析】设矩形垂直于AB的一边长为x,则另一边长为2,于是矩形面积S(x)=2x·(00;当x∈(80,120)时,V'<0.因此x=80是函数V=-x3+60x2的极大值点,也是最大值点,此时V=128000cm3.4
