高二下学期开学考试（理科数学）一、选择题1-5：CABDA6-10：DBBCC11-12：AB二、填空题13：36+14:982+15:12m−16:1134aee三、解答题17.（1）（2）假设111,,abc成等差数列，则211acbacac+=+=由于,,abc成等差数列，得2bac=+①那么22acbbacac+==，即2bac=②由①、②得abc==与,,abc是不全相等的实数矛盾．故111,,abc不成等差数列．18.解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为242(19)yxxx=+，所以点P坐标为242(,)xxx+，直线OB的方程为0xy−=，则点P到直线0xy−=的距离为2224242|()|||422xxxxx−+==，又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为22432()5405()(19)fxxxxxx=+=+．（2）因为22432()5405()(19)fxxxxxx=+=+，所以333645(64)()5(1)xfxxx−=−=，令()0fx=，得4x=，列表如下：x(1,4)4(4,9)()fx−0−()fx单调递减极小值单调递增所以当4x=时，函数()fx有最小值，最小值为232(4)5(4)304f=+=．19.20.（1）||||||||||42||QMQNQMQPMPMN+=+===∴Q的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，设其方程为22221(0)xyabab+=则24,1ac==,∴2,3ab==∴22143xy+=（2）联立22(1)143ykxxy=++=得()22223484120kxkxk+++−=设()11,Axy，()22,Bxy0恒成立，2122834kxxk−+=+，212241234kxxk−=+假设C与B关于x轴对称，则()22Cxy−，下证,,DAC三点共线即证DADCkk=，即证121244yyxx−=++∵()111ykx=+，()221ykx=+∴()()()()()()()122112211212441414258yxyxkxxkxxkxxxx+++=+++++=+++22222412802580343434kkkkkkk−−=++==+++∴()22,Cxy−与,DA共线，∴DA与R的另一交点C与B关于x轴对称21.（Ⅰ）由题()()1'2xfxxea+=+，（1）当0a时，120,xea++故(),0x−时，()()1'20xfxxea+=+函数()fx单调递减，()0,+x时，()()1'20xfxxea+=+函数()fx单调递增；（2）当02ea−时，故()(),ln21xa−−−时，()()1'20xfxxea+=+,函数()fx单调递增，()()ln21,0xa−−时，()()1'20xfxxea+=+,函数()fx单调递减，()0,x+时，()()1'20xfxxea+=+,函数()fx单调递增；（3）当2ea=−时，()()1'20xfxxea+=+恒成立，函数()fx单调递增；（4）当2ea−时，故(),0x−时，()()1'20xfxxea+=+函数()fx单调递增，()()0,ln21xa−−时，()()1'20xfxxea+=+函数()fx单调递减，()()ln21,xa−−+时，()()1'20xfxxea+=+函数()fx单调递增；（Ⅱ）当0a=时，()()0xfxexee=−=有唯一零点1,x=不符合题意；由（Ⅰ）知：当0a时，故(),0x−时，函数()fx单调递减，()0,x+时，函数()fx单调递增，x→−时，()fx→+；x→+时，()fx→+，()00fe=−必有两个零点；当02ea−时，故()(),ln21xa−−−时，函数()fx单调递增，()()ln21,0xa−−时，函数()fx单调递减，()0,x+时，函数()fx单调递增，()()()()()()()2ln212ln21ln210,00faaaaafe−−=−−−+−−=−,函数()fx至多有一个零点；当2ea=−时，函数()fx单调递增，函数()fx至多有一个零点；当2ea−时，故(),0x−时，函数()fx单调递增，()()0,ln21xa−−时，函数()fx单调递减，()()ln21,xa−−+时，函数()fx单调递增，()00fe=−，函数()fx至多有一个零点；综上所述：当0a时，函数()fx有两个零点.22.
