（江苏专用）高考数学大一轮复习 第二章 第7课 函数的奇偶性要点导学-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第二章第7课函数的奇偶性要点导学要点导学各个击破函数奇偶性的判断与证明判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=22x2xx1;(2)f(x)=x3-2x;(3)f(x)=a(x∈R).[思维引导]根据函数的奇偶性的定义即可判断下列函数的奇偶性.[解答](1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-(-2x)=2x-x3=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)函数的定义域为R,关于原点对称,当a=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数;当a≠0时,f(-x)=a=f(x),即f(x)是偶函数.[精要点评]判断下列函数的奇偶性首先要考虑函数的定义域,同时要注意运用其等价形式,如奇函数的判断可以通过f(-x)+f(x)=0等.求证:函数f(x)=xx112-12+a(其中a为常数)为偶函数.[证明]易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),它关于原点对称.因为f(-x)=-x-x112-12+a=xxx21-2-12+a=xxx2-111-2-12+a=xx112-12+a=f(x),1所以f(x)=xx112-12+a(其中a为常数)为偶函数.[精要点评]函数奇偶性的证明与函数奇偶性的判断的区别在于我们已经知道函数具有奇偶性,从而有了解决问题的方向,只是在对式子的变形上可能要下一定的功夫,特别是对于抽象函数,我们要牢牢抓住奇偶性的定义找到解决问题的突破口.函数奇偶性的应用(2014·湖南卷)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,那么f(1)+g(1)=.[答案]1[解析]方法一:分别令x=1和x=-1可得f(1)-g(1)=3和f(-1)-g(-1)=1.因为函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,所以f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1),即f(-1)-g(-1)=1f(1)+g(1)=1,则f(1)-g(1)3,f(1)g(1)1f(1)2,g(1)-1f(1)+g(1)=1.方法二:由题意知f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x),所以f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=-x3+x2+1,结合f(x)-g(x)=x3+x2+1得f(x)=x2+1,g(x)=-x3,所以f(1)+g(1)=2-1=1.【题组强化·重点突破】1.(2014·北京东城区模拟)若函数f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+x,则f(-2)的值为.[答案]-6[解析]因为函数f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-(22+2)=-6.2.已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,那么f(-2)=.[答案]6[解析]由题意得g(-2)=f(-2)+9=3,则f(-2)=-6,所以f(2)=-f(-2)=6.3.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,那么g(1)=.[答案]34.(2014·眉山模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),那么f(-6)=.[答案]0[解析]因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,f(-6)=-f(-4)=f(-2)=-f(0)=0.5.(2014·全国卷)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围2是.[答案](-1,3)[解析]根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为(-2,2),由f(x-1)>0,得-2