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高中数学 第四章 导数应用 1 函数的单调性与极值 1.2 函数的极值课时跟踪训练 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP免费

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1.2函数的极值[A组基础巩固]1.下列结论中正确的是()A.导数为零的点一定是极值点B.如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值C.如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极小值D.如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极大值解析:结合函数极值的定义可知.答案:B2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f′(x)在区间(a,b)上的图像如图所示,则函数y=f(x)在(a,b)上极大值点的个数为()A.4B.3C.2D.1解析:极大值点在导函数f′(x)的零点处,且满足零点的左侧为正,右侧为负,由导函数的图像可知这样的极值点共有3个.答案:B3.下列四个函数:①y=x3;②y=x2+1;③y=|x|;④y=2x.在x=0处取得极小值的函数是()A.①②B.②③C.③④D.①③解析:作出函数的大致图像,由图像可分析出结论;也可以用排除法,因为①④是单调函数,无极值,即可排除A、C、D,故应选B.答案:B4.函数y=1+3x-x3有()A.极小值-1,极大值1B.极小值-2,极大值3C.极小值-2,极大值2D.极小值-1,极大值3解析:由y=1+3x-x3,得y′=-3x2+3.令y′=0,即-3x2+3=0,∴x=±1.∴当x=1时,有y极大值=1+3-1=3;当x=-1时,有y极小值=1-3+1=-1.答案:D5.若函数f(x)=x·2x在x0处有极小值,则x0等于()A.B.-C.-ln2D.ln2解析:f′(x)=2x+x·2xln2,令f′(x)=0,得x=-.当x<-时f′(x)<0,当x>-时,f′(x)>0.1∴当x=-时,函数f(x)取极小值.答案:B6.函数y=x3+x2-x+1在x=________处取极大值.解析:y′=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1).当-1或x<-1时,y′>0.∴函数在x=-1处取极大值.答案:-17.函数f(x)=ax-1-lnx(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________.解析:f′(x)=a-=,当a≤0时,f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上是减少的,故f(x)在(0,+∞)上没有极值点.答案:08.设函数f(x)=mcosx-sinx在x=处取得极值,则m=________.解析:f′(x)=-msinx-cosx.由题意,得f′()=0,∴-m·-×=0.∴m=-.答案:-9.设函数f(x)=alnx++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.解析:(1)因为f(x)=alnx++x+1,所以f′(x)=-+.由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线的斜率为0,即f′(1)=0,从而a-+=0,解得a=-1.(2)由(1),知f(x)=-lnx++x+1(x>0),f′(x)=--+==令f′(x)=0,解得x=1或x=-(舍去).当x∈(0,1)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上为增函数.故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,无极大值.10.设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数f′(x)的图像关于直线x=-对称,且f′(1)=0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值.解析:(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,所以f′(x)=6x2+2ax+b,从而f′(x)=62+b-,即f′(x)的图像关于直线x=-对称.则-=-,即a=3.由f′(1)=0,即6+2a+b=0,得b=-12.(2)由(1),知f(x)=2x3+3x2-12x+1,2f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).令f′(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0,解得x=-2或x=1.当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,即f(x)在(-∞,-2)上单调递增;当x∈(-2,1)时,f′(x)<0,即f(x)在(-2,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,即f(x)在(1,+∞)上单调递增.从而函数f(x)在x=-2处取得极大值,f(x)极大值=f(-2)=21,在x=1处取得极小值,f(x)极小值=f(1)=-6.[B组能力提升]1.如图是函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图像,则x+x=()A.B.C.D.解析:由图像可得f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x,且x1,x2是函数f(x)的两个极值点,所以x1,x2是f′(x)=3x2-2x-2=0的两根,所以x1+x2=,x1x2=-,故x+x=(x1+x2)2-2x1x2=2+2×=.答案:C2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和...

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