高中数学 第四章 导数应用 1 函数的单调性与极值 1.2 函数的极值课时跟踪训练 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP免费

1.2函数的极值[A组基础巩固]1．下列结论中正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值C．如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极小值D．如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极大值解析：结合函数极值的定义可知．答案：B2.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)上的图像如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)上极大值点的个数为()A．4B．3C．2D．1解析：极大值点在导函数f′(x)的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图像可知这样的极值点共有3个．答案：B3．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.在x＝0处取得极小值的函数是()A．①②B．②③C．③④D．①③解析：作出函数的大致图像，由图像可分析出结论；也可以用排除法，因为①④是单调函数，无极值，即可排除A、C、D，故应选B.答案：B4．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3解析：由y＝1＋3x－x3，得y′＝－3x2＋3.令y′＝0，即－3x2＋3＝0，∴x＝±1.∴当x＝1时，有y极大值＝1＋3－1＝3；当x＝－1时，有y极小值＝1－3＋1＝－1.答案：D5．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于()A.B．－C．－ln2D．ln2解析：f′(x)＝2x＋x·2xln2，令f′(x)＝0，得x＝－.当x<－时f′(x)<0，当x>－时，f′(x)>0.1∴当x＝－时，函数f(x)取极小值．答案：B6．函数y＝x3＋x2－x＋1在x＝________处取极大值．解析：y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)．当－1或x<－1时，y′>0.∴函数在x＝－1处取极大值．答案：－17．函数f(x)＝ax－1－lnx(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________．解析：f′(x)＝a－＝，当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的，故f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．答案：08．设函数f(x)＝mcosx－sinx在x＝处取得极值，则m＝________.解析：f′(x)＝－msinx－cosx．由题意，得f′()＝0，∴－m·－×＝0.∴m＝－.答案：－9．设函数f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解析：(1)因为f(x)＝alnx＋＋x＋1，所以f′(x)＝－＋.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线的斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.(2)由(1)，知f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x>0)，f′(x)＝－－＋＝＝令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．10．设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数f′(x)的图像关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．解析：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝6x2＋2ax＋b，从而f′(x)＝62＋b－，即f′(x)的图像关于直线x＝－对称．则－＝－，即a＝3.由f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，得b＝－12.(2)由(1)，知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，2f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上单调递增；当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值，f(x)极大值＝f(－2)＝21，在x＝1处取得极小值，f(x)极小值＝f(1)＝－6.[B组能力提升]1．如图是函数y＝f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x＋x＝()A.B.C.D.解析：由图像可得f(x)＝x(x＋1)(x－2)＝x3－x2－2x，且x1，x2是函数f(x)的两个极值点，所以x1，x2是f′(x)＝3x2－2x－2＝0的两根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，故x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2＋2×＝.答案：C2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和...