3.2.2抛物线的简单性质[基础达标]顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(－4，5)的抛物线方程为()A．y2＝xB．y2＝－xC．x2＝yD．x2＝－y解析：选C.由题设知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，将(－4，5)代入得p＝，所以，抛物线方程为x2＝y.已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值为()A．2B．3C．4D．0解析：选B.z＝x2＋×4x＋3＝(x＋1)2＋2， x≥0，∴x＝0时，z有最小值，zmin＝3.设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0，2)B．[0，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据已知只要|FM|>4即可，根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．若抛物线x2＝2y上距离点A(0，a)的最近点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是()A．a>0B．0
0，即a>1时，y＝a－1时d2取到最小值，不符合题意．综上可知a≤1.已知抛物线y＝x2上有一定点A(－1，1)和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标取值范围是()A．(－∞，－3]B．[1，＋∞)C．[－3，1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选D.设P(x0，x)，Q(x，x2)，其中x0≠－1，x≠x0，则PA＝(－1－x0，1－x)，PQ＝(x－x0，x2－x)， PA⊥PQ，∴PA·PQ＝0.∴－(1＋x0)(x－x0)＋(1－x)(x2－x)＝0，即－1＋(1－x0)(x＋x0)＝0，∴x＝－x0＋＝(1－x0)＋－1，当x0<1时，1－x0＋≥2.∴x≥2－1＝1；1当x0>1时，1－x0＋＝－[(x0－1)＋]≤－2，∴x≤－2－1＝－3，故Q横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________．解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝16.∴m＝±4.答案：±4已知直线y＝k(x－2)，(k>0)与抛物线y2＝8x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|＝3|FB|，则k的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2<0.由，得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4.①又|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2且|AF|＝3|FB|，∴x1＝3x2＋4，②由①②解得x2＝，∴B(，－)，代入y＝k(x－2)得k＝.答案：已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．解析：若k不存在，则y＋y＝32.若k存在，设直线AB的斜率为k，当k＝0时，直线AB的方程为y＝0，不合题意，故k≠0.由题意设直线AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)，由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16.∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32>32.∴y＋y的最小值为32.答案：32抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程．解：如图，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点为F，所以直线方程为y＝－.设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据抛物线的定义，得|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，即x1＋x2＋p＝8.联立方程组消去y，得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p，∴3p＋p＝8，即p＝2.∴所求抛物线的方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可以求得抛物线的方程为y2＝－4x.综上，抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－4x.设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M(0，)的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求k的值．解：(1)由题意知，动点P到定点M的距离等于它到直线x＝－的距离，根据抛物线的定2义，得动点P的轨迹是抛物线，其中＝，则2p＝2，故动点P的轨迹方程为x2＝2y.(2)将直线的方程代入抛物线方程并整理，得x2－2kx－2＝0，设A(x1，y1)...
