3.3几个三角恒等式A级基础巩固1．函数y＝cos2＋sin2－1是()A．周期为2π的奇函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的偶函数解析：y＝＋－1＝＝－sin2xsin＝sin2x.所以是奇函数且周期T＝＝π.答案：C2．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于()A．－B．－C.D.解析：由题意知sinα＝－，α∈，所以cosα＝－.因为∈，所以sin＝cos＝－＝－.答案：B3．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于()A．1B．－1C．0D．±1解析：因为sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.答案：C4．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx，0≤x＜，则f(x)的最大值是()A．1B．2C.＋1D.＋2解析：f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＝sinx＋cosx＝2sin.因为0≤x＜，所以≤x＋≤π.因此当x＋＝时，f(x)取到最大值2.答案：B5．已知α∈，sinα＝，则tan2α＝__________.解析：因为sinα＝，α∈，所以cosα＝－＝－.所以tanα＝＝－.所以tan2α＝＝＝－.答案：－6．若A＋B＝120°，则sinA＋sinB的最大值是________．解析：sinA＋sinB＝2sincos＝cos≤，所以最大值为.答案：7．(2014·山东卷)函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．解析：y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，所以函数的最小正周期T＝＝π.答案：π8．函数y＝sincosx的最小值是________．解析：y＝sincosx＝＝＝sin－，1当sin＝－1时，y取得最小值为－.答案：－9．化简.解：＝＝＝＝1.10．已知tan＝3，求sin2θ－2cos2θ的值．解：由tan＝3，＝3，得tanθ＝，sin2θ＝＝＝＝，cos2θ＝＝＝＝，所以原式＝－2×＝－.B级能力提升11．已知cosθ＝－，且180°＜θ＜270°，则tan＝_______．解析：因为180°＜θ＜270°，所以90°＜＜135°，即是第二象限角，所以tan＜θ.所以tan＝－＝－＝－2.答案：－212．已知－2cos(α＋β)＝2，求sin2β＋2cos2α的值．解：由－2cos(α＋β)＝2，得sin(2α＋β)－2sinαcos(α＋β)＝2sinα，sin(2α＋β)－2×[sin(2α＋β)＋sin(－β)]＝2sinα.所以sinβ＝2sinα.所以sin2β＋2cos2α＝4sin2α＋2(1－2sin2α)＝2.13．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝sin＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sinx在上的图象知，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值＋1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值0.综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.2
