选修1-23.1.2导数的几何意义一、选择题1．曲线y＝x2在x＝0处的()A．切线斜率为1B．切线方程为y＝2xC．没有切线D．切线方程为y＝0[答案]D[解析]k＝y′＝lim＝limΔx＝0，所以k＝0，又y＝x2在x＝0处的切线过点(0,0)，所以切线方程为y＝0.2．已知曲线y＝x3过点(2,8)的切线方程为12x－ay－16＝0则实数a的值是()A．－1B．1C．－2D．2[答案]B[解析]k＝y′|x＝2＝lim＝lim[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12，所以过点(2,8)的切线方程为y－8＝12(x－2)即y＝12x－16，所以a＝1.3．如果曲线y＝x3＋x－10的一条切线与直线y＝4x＋3平行，那么曲线与切线相切的切点坐标为()A．(1，－8)B．(－1，－12)C．(1，－8)或(－1，－12)D．(1，－12)或(－1，－8)[答案]C[解析]设切点坐标为P(x0，y0)，则y0＝x＋x0－10的切线斜率为k＝lim＝lim＝lim[(3x＋1)＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x＋1＝4，所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－8，当x0＝－1时，y0＝－12，所以切点坐标为(1，－8)或(－1，－12)．4．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．－45°[答案]B[解析]k＝y′|x＝－1＝lim＝lim[1－Δx＋(Δx)2]＝1，所以切线的倾斜角为45°.5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在此点处的切线倾斜角为的是()A．(0,0)B．(2,4)C．(，)1D．(，)[答案]D[解析]k＝lim＝lim＝lim(2x＋Δx)＝2x， 倾斜角为，∴斜率为1.∴2x＝1，x＝，故选D.6．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为()A．(1,0)B．(2,8)C．(1,0)或(－1，－4)D．(2,8)或(－1，－4)[答案]C[解析]根据导数的定义可求得f′(x)＝3x2＋1，由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，故f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)，选C.7．曲线y＝x3＋2在点(1，)处切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．60°[答案]B[解析]Δy＝(1＋Δx)3－×(1)3＝Δx－Δx2＋Δx3，＝1－Δx＋Δx2，lim＝lim(1－Δx＋Δx2)＝1，∴曲线y＝x3＋2在点处切线的斜率是1，倾斜角为45°.8．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是()A．－4B．0C．4D．不存在[答案]B[解析]Δy＝－2Δx2，＝－2Δx，lim＝lim(－2Δx)＝0，由导数的几何意义可知，函数y＝－在点处的切线斜率为0.9．函数y＝－在点(，－2)处的切线方程是()A．y＝4xB．y＝4x－4C．y＝4(x＋1)D．y＝2x＋4[答案]B[解析] Δy＝，＝，lim＝4，∴切线的斜率为4.则切线方程为：y＋2＝4(x－)，即y＝4x－4.10．曲线y＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时，P点坐标是()2A．(－2，－8)B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8)D.[答案]B[解析]由导数的定义可求y＝x3在点P(x0，x)处的斜率为3x＝3，∴x0＝±1，故选B.二、填空题11．曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为____________．[答案]y＝－4x－1[解析]Δy＝2(Δx－1)2＋1－2(－1)2－1＝2Δx2－4Δx，＝2Δx－4，lim＝lim(2Δx－4)＝－4，由导数几何意义知，曲线y＝2x2＋1在点(－1,3)处的切线的斜率为－4，切线方程为y＝－4x－1.12．(2009·泰州高二检测)已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1、k2、k3之间的大小关系为________．(请用>连接)[答案]k1>k3>k2[解析]由导数的几何意义可知k1，k2分别为曲线在A，B处切线的斜率，而k3＝f(2)－f(1)＝为直线AB的斜率，由图象易知k1>k3>k2.13．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则当Δx趋近于零时，的极限为________．[答案]－11[解析]由已知得lim＝＝11，所以lim＝－11.14．下列三个命题：①若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线；②若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在；③若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率不存在．其中正确的命题是________(填上你认为正确的命题序号)[答案]③[解析]寻找垂直于x轴的切线即可．三、解答题15．求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线的方程．[解析]由于点(－2，－1)恰好在曲线f(x)＝上，所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函...
