第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理A级基础巩固一、选择题1．已知＝，＝，＝4，….若＝6(a，b∈R)，则()A．a＝5，b＝24B．a＝6，b＝24C．a＝6，b＝35D．a＝5，b＝35解析：观察式子的特点可知，分式的分子a与根号外的数相同，而分母b则为a的平方减1.答案：C2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.故选C.答案：C3．设n是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．一定是零B．不一定是偶数C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，(n2－1)[1－(－1)n]＝(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．所以(n2－1)[1－(－1)n]的值一定为偶数．答案：C4．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()A.＋＋＝1B.＋＋＝1C.＋＋＝1D．ax＋by＋cz＝1解析：从方程＋＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是＋＋＝1.答案：A5．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非等实数，且满足＝tan，则等于()A．4B.C．2D.解析：将已知式变形，则有＝＝＝tan＝tan，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝，可知只有当＝tan＝时，上式成立．答案：D1二、填空题6．设f(x)＝.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．解析：因为6－(－5)＝11，所以f(－5)，f(－4)，…，f(5)，f(6)，共有12项，课本中推导等差数列前n项和的公式的方法是倒序相加法，即因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝an＋a1，令Sn＝a1＋a2＋…＋an，则Sn＝an＋an－1＋…＋a1，所以2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，所以Sn＝.同理，因为f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＝.令Tn＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(5)＋f(6)，则Tn＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－4)＋f(－5)，所以2Tn＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]＝12×＝6.所以Tn＝3.答案：37．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为_____________________________________________________．解析：“圆中正方形的面积”类比为“球中正方体的体积”，可得结论．答案：半径为R的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为R3.8．(2015·陕西卷)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是______________．解析：三棱锥：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝2；五棱锥：F＝6，V＝6，E＝10，得；F＋V－E＝2；立方体：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝2.所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝2三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积V＝×底面积×高．2(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.10．已知数列，，，…，(n∈N*)的前n项和为Sn.(1)求出S1，S2，S3，S4；(2)猜想该数列的前n项和Sn并证明．解：(1)S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.(2)猜想Sn＝(n∈N*)．证明如下：因为＝，所以Sn＝＝(n∈N*)．B级能力提升1．图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含的单位正方形的个数是()...
