学业分层测评(十七)向量的数乘(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知λ∈R，则下列说法错误的是________．(填序号)①|λa|＝λ|a|；②|λa|＝|λ|a；③|λa|＝|λ||a|；④|λa|>0.【解析】当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a＝0时，④式不成立；又|λa|∈R，而|λ|a是数乘向量，故②必不成立．【答案】①②④2．化简为________．【解析】原式＝＝(2a＋6b)＝a＋b.【答案】a＋b3．若AC＝AB，则BC＝________AC.【解析】∵AC＝AB，∴点A，B，C三点共线，且AC与AB同向，∵＝(如图)，∴＝，又BC与AC反向，∴BC＝－AC.【答案】－4．在△ABC中，已知BC＝3BD，则AD＝________(用AB，AC表示)．【解析】∵BC＝3BD，∴AC－AB＝3(AD－AB)，∴AD＝AB＋AC.【答案】AB＋AC5．(2016·苏州高一检测)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝________.【导学号：06460050】【解析】∵m与n共线，∴存在实数λ，使得m＝λn，∴－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)，∴∴λ＝，k＝.【答案】6．已知向量a，b且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是________．【解析】∵BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，∴A，B，D三点共线．【答案】A，B，D7．若O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，AB＝2e1，BC＝3e2，则BO＝________.(用e1，e2表示)【解析】∵AD＝BC，∴BD＝AD－AB＝3e2－2e1.又∵BD＝2BO，∴BO＝e2－e1.【答案】e2－e118．(2016·南通高一检测)已知平面内有一点P及一个△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则下列说法正确的是________．(填序号)①点P在△ABC外部；②点P在线段AB上；③点P在线段BC上；④点P在线段AC上．【解析】PA＋PB＋PC＝PB－PA，∴2PA＋PC＝0.如图，易知P在线段AC上．【答案】④二、解答题9．如图2223所示，已知在▱ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BN＝BD.图2223求证：M，N，C三点共线．【证明】设AB＝a，AD＝b，则BD＝BA＋AD＝－a＋b，BN＝BD＝－a＋b，MB＝a，BC＝AD＝b，∴MC＝MB＋BC＝a＋b，MN＝MB＋BN＝a－a＋b＝，∴MN＝MC，∴MN∥MC，又M为公共点，∴M，N，C三点共线．10．如图2224，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若AB＝a，AD＝b，试用a，b表示BC和MN.图2224【解】连接CN.∵AN∥DC，且AN＝DC＝AB，∴四边形ANCD为平行四边形，∴CN＝－AD＝－b.∵CN＋NB＋BC＝0，∴BC＝－NB－CN＝b－a，MN＝CN－CM＝CN＋AN＝a－b.能力提升]21．若AB＝5e，CD＝－7e，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD的形状是________．【解析】∵AB＝5e，CD＝－7e，∴CD＝－AB，∴AB与CD平行且方向相反，易知|CD|＞|AB|.又∵|AD|＝|BC|，∴四边形ABCD是等腰梯形．【答案】等腰梯形2．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为________．【解析】由MA＋MB＋MC＝0可知，M是△ABC的重心．取BC的中点D，则AB＋AC＝2AD.又M是△ABC的重心，∴AM＝2MD，∴AD＝AM，∴AB＋AC＝3AM，即m＝3.【答案】33．在△ABC中，BD＝2DC，AD＝mAB＋nAC，则m＝________，n＝________.【解析】AD－AB＝2AC－2AD，∴3AD＝AB＋2AC，∴AD＝AB＋AC.【答案】4．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？【解】d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.要使c∥d，则应存在实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝k(2e1－9e2)＝2ke1－9ke2，∵e1，e2不共线，∴∴λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使d与c共线.3
