（江苏专用）高考数学一轮复习 加练半小时 专题9 平面解析几何 第82练 高考大题突破练—圆锥曲线中的定点、定值问题 理（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第82练高考大题突破练—圆锥曲线中的定点、定值问题[基础保分练]1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2＝2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，延长BF2交椭圆C于点M，△ABF2的周长为8.(1)求C的离心率及方程；(2)试问：是否存在定点P(x0,0)，使得PM·PB为定值？若存在，求x0；若不存在，请说明理由．2.已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S为椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x＝分别交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；(3)求线段MN的长度的最小值．3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，点P(2，－1)满足PA1·PA2＝1.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点P且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值，若不存在，请说明理由．[能力提升练]4．已知椭圆C：＋＝1过点A，右顶点为点B.(1)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于M，N两点(M，N不是左、右顶点)，且BM⊥BN，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；(2)E，F是椭圆C的两个动点，若直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，试判断直线EF的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由．1答案精析1．解(1)由题意可知，F1F2＝2c＝2，则c＝1，又△ABF2的周长为8，所以4a＝8，即a＝2，则e＝＝，b2＝a2－c2＝3.故C的方程为＋＝1.(2)假设存在点P，使得PM·PB为定值．若直线BM的斜率不存在，直线BM的方程为x＝1，B，M，则PM·PB＝(x0－1)2－.若直线BM的斜率存在，设BM的方程为y＝k(x－1)，联立得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ>0显然成立，设点B(x1，y1)，M(x2，y2)，x1,2＝，x1＋x2＝，x1x2＝，由于PM＝(x2－x0，y2)，2PB＝(x1－x0，y1)，则PM·PB＝x1x2－(x1＋x2)x0＋x＋y1y2＝(k2＋1)x1x2－(x0＋k2)(x1＋x2)＋k2＋x＝，因为PM·PB为定值，所以＝，解得x0＝，故存在点P使PM·PB为定值，且x0＝.2．(1)解由已知得，椭圆C的左顶点为A(－2,0)，上顶点为D(0,1)，∴a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明设S(x0，y0)，则＋y＝1，∴y＝1－，故kSA·kSB＝·＝＝－.(3)解直线AS的斜率k显然存在，且k>0，故可设直线AS的方程为y＝k(x＋2)，从而M，联立得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，设S(x1，y1)，则(－2)·x1＝，得x1＝，从而y1＝，即S，则kSB＝－，直线SB的方程为y＝－(x－2)，又B(2,0)，由得∴N，故MN＝.又k>0，∴MN＝＋≥2＝.当且仅当＝，即k＝时等号成立，3∴当k＝时，线段MN的长度取最小值.3．解(1)依题意知，A1(－a,0)，A2(a,0)，P(2，－1)，所以PA1·PA2＝(－a－2,1)·(a－2,1)＝5－a2，由PA1·PA2＝1，a>0，得a＝2，因为e＝＝，所以c＝，b2＝a2－c2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)假设存在满足条件的点Q(t,0)，当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，因此直线l的斜率k存在，设l：y＋1＝k(x－2)，由消去y，得(1＋4k2)x2－(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0，Δ＝－64k>0，所以k<0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1,2＝，则x1＋x2＝，x1x2＝，因为kQM＋kQN＝＋＝＝＝，所以要使对任意满足条件的k，使得kQM＋kQN为定值，则只有t＝2时，kQM＋kQN＝1.故在x轴上存在点Q(2,0)，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1.4．解(1)设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，点B的坐标为(2,0)，因为BM⊥BN，则BM·BN＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，4又y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，代入整理得(k2＋1)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，(*)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，当Δ>0时，x1,2＝，则有x1＋x2＝，x1x2＝，代入(*)得7m2＋16mk＋4k2＝0，所以m＝－k或m＝－2k，当m＝－2k时，直线方程为y＝kx－2k，恒过点B(2,0)，不符合题意，舍去；当m＝－k时，直线方程为y＝kx－k，恒过点，该点在椭圆内，此时Δ>0恒成立，所以，直线l过定点.(2)设点E，F的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)，直线AE，AF，EF的斜率显然存在，所以x3≠1，x4≠1，x3≠x4，设直线EF的方程为y＝kx＋m，同(1)，由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋...