高中数学 基本不等式知识精讲 苏教版必修5VIP专享VIP免费

高二数学基本不等式知识精讲苏教版必修5【本讲教育信息】一.教学内容：基本不等式二.本周教学目标：1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理，2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。3.会应用此不等式求某些函数的最值。4.能够应用基本不等式解决一些简单的实际问题。［学习过程］一.基本不等式的内容：1.如果a,b是正数，那么).""(2号时取当且仅当baabba说明：（ⅰ）我们称baba,2为的算术平均数，称baab,为的几何平均数，因而，此不等式又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。证明∴121221202222.()()()ababababababab证明2：要证：2abab，只要证：2abab只要证：02aabb只要证：02（）ab因为最后一个不等式成立，所以不等式2abab成立，当且仅当""ab时取号）证明3： 2()0,ab∴abab20即abba2显然，当且仅当abbaba2,时2.不等式的几何意义：均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”。用心爱心专心1ab以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b。过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么CBCACD2，即abCD这个圆的半径为2ba，显然，它不小于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立。3.推论：如果Rcba,,，那么33abccba（当且仅当cba时取“=”）证明：3333333333)()()(cbacba33abccba33abccba4.关于“平均数”的概念如果NnnRaaan且1,,,,21则：naaan21叫做这n个正数的算术平均数；nnaaa21叫做这n个正数的几何平均数。推广：naaan21≥nnaaa21niRaNni1,,*语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。【典型例题】例1已知x,y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值;2P（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值142S。证明：因为x,y都是正数，所以xyyx2（1）积xy为定值P时，有Pyx2Pyx2上式当yx时，取“=”号，因此，当yx时，和yx有最小值P2。（2）和x+y为定值S时，有,2Sxy∴xyS142上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值241S。说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（ⅰ）函数式中各项必须都是正数;（ⅱ）函数式中含变量的各项的和或积必须是常数；用心爱心专心2（ⅲ）等号成立条件必须存在。例2.已知x、y都是正数，求证：（1）yxxy≥2；（2）（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3。分析：在运用定理：abba2时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形。证明： x，y都是正数，∴yx＞0，xy＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0（1）xyyxxyyx2＝2即xyyx≥2。（2）x＋y≥2xy＞0；x2＋y2≥222yx＞0；x3＋y3≥233yx＞0∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·222yx·233yx＝８x3y3即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3。例3.已知a,b,c,d都是正数，求证：abcdbdaccdab4))((分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识。证明： a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0。得0,2abcdabcd0.2acbdacbd由不等式的性质定理4的推论1，得()().4abcdacbdabcd即abcdbdaccdab4))((点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法。例4.设0＜x＜2，求函数f（x）=)38(3xx的最大值，并求出相应的x值。分析：根据均值不等式：2baab，研究)38(3xx的最值时，一要考虑3x与８－3x是否为正数；二要考查式子21［3x＋（８－3x）］是否为定值。解： 0＜x＜2,∴3x＞0，８－3x＞0∴f（x）＝)38(3xx≤2)38(3xx＝4当且仅当3x＝８－3x时，即x＝34时取“＝”号。用心爱心...