2.3.1平面向量基本定理A级基础巩固1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是()A．不共线B．共线C．相等D．不确定解析：因为a＋b＝3e1－e2，且c＝6e1－2e2，所以c＝2(a＋b)．所以a＋b与c共线．答案：B2．已知AD是△ABC的BC边上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AD＝()A.(a－b)B．－(a－b)C．－(a＋b)D.(a＋b)解析：如图所示，因为AE＝AB＋AC＝2AD，所以AD＝(a＋b)．答案：D3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列说法正确的是()A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD．对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对解：B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对．答案：A4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有CD＝CA＋λCB，则λ＝()A.B.C．－D．－解析：因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使AD＝tAB，则CD－CA＝t(CB－CA)．所以CD＝CA＋t(CB－CA)＝(1－t)CA＋tCB.所以解之得λ＝－.答案：C5．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线．1因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，所以解得所以x－y＝3.答案：36．如果3e1＋4e2＝a，2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________．解析：由解得答案：3a－4b3b－2a7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为___________．解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4.答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)8．△ABC中，AE＝AB，EF∥BC，交AC于点F.设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示BF.解：依题意作图，如图所示．因为AE＝AB，EF∥BC，所以EF＝BC.所以BF＝BE＋EF＝BE＋BC＝－AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC＝－a＋b.9．向量OA，OB，OC的终点A，B，C在一条直线上，且AC＝－3CB，设OA＝p，OB＝q，OC＝r，则以下等式成立的是()A．r＝－p＋qB．r＝－p＋2qC．r＝p－qD．r＝－q＋2q解析：由AC＝－3CB，得OC－OA＝－3(OB－OC)，2OC＝－OA＋3OB，OC＝－OA＋OB，即r＝－p＋q.答案：A10.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．解析：设AB＝a，AC＝b，则AO＝(AB＋AC)＝a＋b，又AO＝AM＋MO＝AM＋λMN＝AM＋λ(AN－AM)＝(1－λ)AM＋λAN＝a＋b.根据平面向量基本定理得消去λ，得m＋n＝2.答案：2B级能力提升211．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用a，b表示c.解：设c＝xa＋yb，则7e1－4e2＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2.由平面向量基本定理知解得所以c＝a－2b.12.如图所示，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且OM＝a，ON＝b，设AN与BM相交于点P，用向量a，b表示OP.解：因为OP＝OM＋MP，OP＝ON＋NP，设MP＝mMB，NP＝nNA，则OP＝OM＋mMB＝a＋m＝(1－m)a＋mb.OP＝ON＋nNA＝b＋n＝(1－n)b＋na.因为a，b不共线，所以⇒n＝，m＝.所以OP＝a＋b.3
