3.2.1直线的方向向量及平面的法向量A级：基础巩固练一、选择题1．下列各结论中，正确的共有()①同一平面的不同的法向量是共线向量；②若a是平面α的法向量，b是平面α内的向量，则a·b＝0；③设非零向量b，c均在平面α内，若a·b＝0，a·c＝0，则a是平面α的法向量．A．0个B．1个C．2个D．3个答案C解析①垂直于同一平面的直线平行，正确；②若一直线垂直于这个平面，则这条直线垂直于平面内任一条直线，正确；③若b∥c，则不正确．2．已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是()A．－3或1B．3或－1C．－3D．1答案A解析∵|a|＝＝6，∴x＝±4.又a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y＝－1－x.当x＝4时，y＝－3；当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝－3或1.3．下面各组向量为直线l1与l2的方向向量，则l1与l2一定不平行的是()A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)C．a＝(2,3,0)，b＝(4,6,0)D．a＝(－2,3,5)，b＝(－4,6,8)答案D解析l1与l2不平行则其方向向量一定不共线．A中，b＝－2a；B中，b＝－3a；C中，b＝2a.故选D.4．已知A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(1,1，x)，若AD⊂平面ABC，则实数x的值是()A．－1B．0C．1D．2答案B解析易求得平面ABC的法向量u＝(0,0,1)，而AD＝(1,1，x)，∴当AD⊂平面ABC时，AD·u＝0.∴1×0＋1×0＋x＝0.∴x＝0.5．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交答案B解析∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α.故选B.6．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：1①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析DD1∥AA1，AA1＝(0,0,1)；BC1∥AD1，AD1＝(0,1,1)，直线AD⊥平面ABB1A1，AD＝(0,1,0)；C1点坐标为(1,1,1)，AC1与平面B1CD不垂直，∴④错误．故选C.二、填空题7．已知A，B，C三点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1,1)，C(3，λ，λ)，若AB⊥AC，则λ等于________．答案解析AB＝(1，－3，－2)，AC＝(2，λ－2，λ－3)，∵AB⊥AC，即AB·AC＝0，∴2－3(λ－2)－2(λ－3)＝0，解得λ＝.8．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面ACB1的一个法向量为________．答案(1,1，－1)解析建立空间直角坐标系，如图所示，则A(1,0,0)，B(1，1,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，∴AC＝(－1,1,0)，AB1＝(0,1,1)．设平面ACB1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由n⊥AC，n⊥AB1，得令x＝1，得n＝(1,1，－1)．9．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.答案2∶3∶(－4)解析AB＝，AC＝，由a·AB＝0，a·AC＝0，得解得所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．三、解答题210．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，求平面GEF的一个法向量．解如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则E，F，G.由此得GE＝，FE＝.设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)．由n⊥GE，n⊥FE可得，∴令y＝1，则x＝1，z＝1，即平面GEF的一个法向量为n＝(1,1,1)．B级：能力提升练1．空间直角坐标系中，已知A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)，P(x，y，z)是平面ABC内任意一点，试求x，y，z满足的方程．解由题设可知AB＝(－3,4,0)，AC＝(－3,0,2)不共线．设n＝(a，b，c)，且n垂直于平面ABC，则n⊥AB且n⊥AC，故于是＝＝，可取n＝(4,3,6)．P(x，y，z)∈平面ABC⇔AP⊥n⇔AP·n＝0⇔4(x－3)＋3y＋6z＝0⇔4x＋3y＋6z－12＝0.2．已知A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)(1)求平面ABC的一个法向量；(2)证明：向量a＝(3，－4,1)与平面ABC平行．解(1)因为A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，所以AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)．设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，则所以解得令y＝1，则x＝1，z＝1，所以平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．(2)证法一：若存在实数m，n使a＝m·AB＋n·AC，即(3，－4,1)＝m(－2，－1,3)＋n(1，－3,2)，所以解得所以a＝－AB＋AC，所以向量a与平面ABC平行．证法二：因为a·n＝(3，－4,1)·(1,1,1)＝3－4＋1＝0，所以a⊥n，所以向量a与平面ABC平行．34
