第一节平面向量的概念及线性运算课时作业练1.(2018课标全国改编)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则下列正确的是.①⃗EB=34⃗AB-14⃗AC;②⃗EB=14⃗AB-34⃗AC;③⃗EB=34⃗AB+14⃗AC;④⃗EB=14⃗AB+34⃗AC.答案①解析本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义. E是AD的中点,∴⃗EA=-12⃗AD,∴⃗EB=⃗EA+⃗AB=-12⃗AD+⃗AB,又 D为BC的中点,∴⃗AD=12(⃗AB+⃗AC),因此⃗EB=-14(⃗AB+⃗AC)+⃗AB=34⃗AB-14⃗AC.2.(2018江苏扬州中学第一学期阶段性测试)已知点P在直线AB上,且|⃗AB|=4|⃗AP|,设⃗AP=λ⃗PB,则实数λ=.答案13或-15解析由题意可得⃗AB=4⃗AP或⃗AB=-4⃗AP,⃗AP+⃗PB=4⃗AP或⃗AP+⃗PB=-4⃗AP,则⃗PB=3⃗AP或⃗PB=-5⃗AP,则λ=13或-15.3.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5⃗AM=⃗AB+3⃗AC,则△ABM与△ABC的面积之比为.答案35解析设AB的中点为D,连接MD、MC,由5⃗AM=⃗AB+3⃗AC得5⃗AM=2⃗AD+3⃗AC,故C、M、D三点共线,且5⃗DM=3⃗DC,即在△ABM与△ABC中,AB边上的高的比值为35,则△ABM与△ABC的面积之比为35.4.已知a,b是非零向量,命题p:a=b,命题q:|a+b|=|a|+|b|,则p是q的条件.1答案充分不必要解析若a=b,则|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即pq.⇒若|a+b|=|a|+|b|,由加法的运算知a与b同向共线,即a=λb,且λ>0,故q/p.⇒所以p是q的充分不必要条件.5.在△ABC中,⃗CA=a,⃗CB=b,M是CB的中点,N是AB的中点,且CN,AM交于点P,则⃗AP=(用a,b表示).答案-23a+13b解析如图所示,⃗AP=⃗AC+⃗CP=-⃗CA+23⃗CN=-⃗CA+23×12(⃗CA+⃗CB)=-⃗CA+13⃗CA+13⃗CB=-23⃗CA+13⃗CB.因为⃗CA=a,⃗CB=b,所以⃗AP=-23a+13b.6.在△ABC中,点D在线段BC上,且⃗BD=2⃗DC,点O在线段CD上(与点C、D不重合),若⃗AO=x⃗AB+(1-x)⃗AC,则x的取值范围是.答案(0,13)2解析设⃗BO=λ⃗BC,λ∈(23,1),则⃗AO=⃗AB+⃗BO=⃗AB+λ⃗BC=⃗AB+λ(⃗AC-⃗AB)=(1-λ)⃗AB+λ⃗AC. ⃗AO=x⃗AB+(1-x)⃗AC,∴x=1-λ∈(0,13).7.已知G1、G2分别为△A1B1C1与△A2B2C2的重心,且⃗A1A2=e1,⃗B1B2=e2,⃗C1C2=e3,则⃗G1G2=.(用e1、e2、e3表示)答案13(e1+e2+e3)解析⃗A1A2=⃗A1G1+⃗G1G2+⃗G2A2=e1,①⃗B1B2=⃗B1G1+⃗G1G2+⃗G2B2=e2,②⃗C1C2=⃗C1G1+⃗G1G2+⃗G2C2=e3,③因为G1、G2分别为△A1B1C1与△A2B2C2的重心,所以⃗A1G1+⃗B1G1+⃗C1G1=0,⃗G2A2+⃗G2B2+⃗G2C2=0.将①②③相加得3⃗G1G2=e1+e2+e3,所以⃗G1G2=13(e1+e2+e3).8.(2018江苏无锡月考)已知O是△ABC的外心,AB=6,AC=10,若⃗AO=x·⃗AB+y·⃗AC,且2x+10y=5,则cos∠BAC=.答案133解析延长AB至D,使⃗AB=25⃗AD,取AC的中点E,则⃗AC=2⃗AE,则⃗AO=x·⃗AB+y·⃗AC=25x·⃗AD+2y·⃗AE.因为2x+10y=5,所以25x+2y=1,所以D、O、E三点共线.又O为三角形的外心,E为AC的中点,所以DE垂直平分AC,且AD=15,AE=5,所以cos∠BAC=AEAD=13.9.(2018江苏泰州中学高三期中)在△ABC中,AD为BC边的中线,过AD上一点E作直线分别交AB,AC于M,N两点,且⃗AE=2⃗ED,设⃗AM=x⃗AB,⃗AN=y⃗AC(xy≠0),则9x+y的最小值为.答案163解析因为D是BC的中点,⃗AE=2⃗ED,所以⃗AE=23⃗AD=13(⃗AB+⃗AC),又⃗AB=1x⃗AM,⃗AC=1y⃗AN,所以⃗AE=13x⃗AM+13y⃗AN,因为M,E,N三点共线,所以13x+13y=1,从而(9x+y)·(13x+13y)=13(10+yx+9xy)≥13×(10+2√9)=163,当且仅当y=3x时等号成立,故9x+y的最小值为163.10.平行四边形OADB的对角线交于点C,已知⃗BM=13⃗BC,⃗CN=13⃗CD,⃗OA=a,⃗OB=b,用a、b表示⃗OM、⃗ON、⃗MN.解析 ⃗OA=a,⃗OB=b,∴⃗BA=⃗OA-⃗OB=a-b,∴⃗BM=16⃗BA=16a-16b,4∴⃗OM=⃗OB+⃗BM=16a+56b. ⃗OD=⃗OA+⃗OB=a+b,∴⃗ON=⃗OC+⃗CN=12⃗OD+16⃗OD=23⃗OD=23a+23b,∴⃗MN=⃗ON-⃗OM=12a-16b.11.已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.(1)求⃗GA+⃗GB+⃗GO;(2)若PQ过△ABO的重心G,且⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OP=ma,⃗OQ=nb,求证:1m+1n=3.解析(1)因为⃗GA+⃗GB=2⃗GM,又2⃗GM=-⃗GO,所以⃗GA+⃗GB+⃗GO=-⃗GO+⃗GO=0.(2)证明:显然⃗OM=12(a+b).因为G是△ABO的重心,所以⃗OG=23⃗OM=13(a+b).由P,G,Q三点共线,得⃗PG∥⃗GQ,所以有且只有一个实数γ,使⃗PG=γ⃗GQ.而⃗PG=⃗OG-⃗OP=13(a+b)-ma=(13-m)a+13b,⃗GQ=⃗O...
