4.2微积分基本定理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.dx等于()A.－2ln2B.2ln2C.－ln2D.ln2【解析】dx＝lnx|＝ln4－ln2＝ln2.【答案】D2.设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a【解析】∵a＝xdx＝＝，b＝x2dx＝＝，c＝x3dx＝＝，∴a>b>c.【答案】A3.(2016·东莞高二检测)已知(kx＋1)dx＝k，则实数k＝()A.2B.－2C.1D.－1【解析】(kx＋1)dx＝＝k＋1＝k，∴k＝2.【答案】A4.已知f(x)＝2－|x|，则f(x)dx＝()A.3B.4C.D.【解析】因为f(x)＝2－|x|＝所以f(x)dx＝(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.【答案】C5.设f(x)＝则f(x)dx＝()A.B.C.D.【解析】f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3＋＝＋＝.【答案】D二、填空题6.(2015·长沙高二检测)若f(x)＝sinx＋cosx，则f(x)dx＝________.【解析】因为f(x)＝sinx＋cosx，所以f(x)的一个原函数F(x)＝sinx－cosx，则(sinx＋cosx)dx＝F－F＝－＝2.【答案】27.(2016·长沙高二检测)f(x)＝sinx＋cosx，则f(x)dx＝__________.【解析】f(x)dx＝(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)＝－1＝sin＋sin＝1＋1＝2.【答案】28.已知f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝__________.【解析】因为f(1)＝lg1＝0，且3t2dt＝t3|＝a3－03＝a3，所以f(0)＝0＋a3＝1，所以a＝1.【答案】1三、解答题9.已知f(x)＝(12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值.【解】因为f(x)＝(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx＝(2x3＋2ax2＋a2x)＝2＋2a＋a2＝(a＋1)2＋1≥1.∴当a＝－1时，F(a)有最小值1.10.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，f(1)＝4，f′(1)＝1，f(x)dx＝，求f(x).【解】因为f(1)＝4，所以a＋b＋c＝4，①f′(x)＝2ax＋b，因为f′(1)＝1，所以2a＋b＝1，②f(x)dx＝＝a＋b＋c＝，③由①②③可得a＝－1，b＝3，c＝2.所以f(x)＝－x2＋3x＋2.[能力提升]1.已知等比数列，且a4＋a8＝dx，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为()A.π2B.4C.πD.－9π【解析】dx表示以原点为圆心，半径r＝2在第一象限的面积，因此dx＝π，a6(a2＋2a6＋a10)＝a6·a2＋2a6·a6＋a6·a10＝a＋2a4·a8＋a＝(a4＋a8)2＝π2，故选A.【答案】A2.如图422所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()图422A.B.C.D.【解析】因为S正方形＝1，S阴影＝(－x)dx＝＝－＝，所以点P恰好取自阴影部分的概率为＝.【答案】C3.计算：(2|x|＋1)dx＝__________.2【解析】(2|x|＋1)dx＝(－2x＋1)dx＋(2x＋1)dx＝(－x2＋x)|＋(x2＋x)|＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12.【答案】124.定义F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞).令函数f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))的图像为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O作曲线C1的切线，切点为B(n，t)(n>0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.【解】∵F(x，y)＝(1＋x)y，∴f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))＝2＝x2－4x＋9，故A(0，9)，f′(x)＝2x－4.又∵过O作C1的切线，切点为B(n，t)(n>0)，∴解得B(3，6).∴S＝(x2－4x＋9－2x)dx＝＝9.3
