课时训练5全称量词与存在量词1.下列命题中,不是全称命题的是().A.任何一个实数乘以零都等于零B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D.一定存在没有最大值的二次函数答案:D2.(2011安徽高考,理7)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是().A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数答案:D解析:全称命题的否定:所有变为存在,且否定结论.所以原命题的否定是:存在一个能被2整除的整数不是偶数.3.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是().A.存在一个α,使tan(90°-α)=tanαB.存在实数x0,使sinx0=C.对一切α,sin(180°-α)=sinαD.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ答案:A解析:只有A,B两个选项中的命题是特称命题,而由于|sinx|≤1,所以sinx0=不成立,故B中命题为假命题.又因为当α=45°时,tan(90°-α)=tanα,故A中命题为真命题.4.命题“∀x∈R,2x≤0”的否定是().A.不∃x0∈R,≤0B.∃x0∈R,>0C.∀x∈R,2x>0D.∀x∈R,2x≥0答案:B解析:全称命题的否定是特称命题,变“∀x∈R”为“∃x0∈R”并否定结论.5.下列四个命题中,既是全称命题又是真命题的是().A.斜三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x2>0C.任意无理数的平方必是无理数D.存在一个负数x,使>2答案:A解析:只有A,C两个选项中的命题是全称命题,且A显然为真命题.因为是无理数,而()2=2不是无理数,所以C为假命题.6.已知命题p:∀x∈R,x2+2x-a>0.若p为真命题,则实数a的取值范围是().A.a>-1B.a<-1C.a≥-1D.a≤-1答案:B1解析:依题意不等式x2+2x-a>0对∀x∈R恒成立,所以必有Δ=4+4a<0,解得a<-1.7.给出下列四个命题:①a⊥b⇔a·b=0;②矩形不是梯形;③∃x,y∈R,x2+y2≤1;④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.其中全称命题是.答案:①②④8.给出下列命题:①∀x∈R,x2≥x;②∃x∈R,x2≥x;③4≥3;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠-1”.其中真命题的序号是.答案:②③解析:①中,当x∈(0,1)时,x2≥x不成立,所以是假命题;④中,“x2≠1”的充要条件是“x≠1且x≠-1”.9.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:(1)三角形的内角和为180°;(2)每个二次函数的图象都开口向下;(3)存在一个四边形不是平行四边形.解:(1)是全称命题且为真命题.命题的否定:三角形的内角和不全为180°,即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题.命题的否定:存在一个二次函数的图象开口不向下.(3)是特称命题且为真命题.命题的否定:所有的四边形都是平行四边形.10.若命题“对任意实数x,2x>m(x2+1)”是真命题,求实数m的取值范围.解:由题意知,不等式2x>m(x2+1)恒成立,即不等式mx2-2x+m<0恒成立.(1)当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立,不合题意.(2)当m≠0时,要使不等式mx2-2x+m<0恒成立,则解得m<-1.综上可知,所求实数m的取值范围是(-∞,-1).2
