高中数学电子题库第三章2.2知能演练轻松闯关北师大版选修2-11.(2012·抚州调研)下列有关抛物线的说法正确的是()①有一个顶点；②有一个焦点；③有一个对称中心；④有一条对称轴；⑤有一条准线．A．①②③B．②③④C．①②④⑤D．①②③④⑤答案：C.2.过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若|AB|＝6，则线段AB的中点横坐标为()A．1B．2C．3D．4解析：选B.抛物线y2＝4x中p＝2，弦AB为焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2＝6，即x1＋x2＝4，则＝2，即线段AB的中点横坐标为2.3.已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝______．解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1，0)，|AF|＝x1＋1＝2，则x1＝1，故直线AF的方程是x＝1.此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.答案：24.(2012·宝鸡质检)垂直于x轴的直线与抛物线y2＝4x相交于点A，B，且|AB|＝4，则直线AB的方程为______________．解析：设点A在x轴上方，且直线AB与x轴交于点M，则由抛物线的对称性可得|AM|＝2，此即为点A的纵坐标，代入抛物线方程可得x＝3，从而直线AB的方程为x＝3.答案：x＝3[A级基础达标]1.(2012·阜阳质检)顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(－4，5)的抛物线方程为()A．y2＝xB．y2＝－xC．x2＝yD．x2＝－y解析：选C.由题设知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，将(－4，5)代入得p＝，所以，抛物线方程为x2＝y.2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：选B.抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为(，0)，则直线l的方程为y＝2(x－)，它与y轴的交点为A(0，－)，所以△OAF的面积为·||·||＝4，解得a＝±8.所以抛物线方程为y2＝±8x.3.已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值为()A．2B．3C．4D．0解析：选B.z＝x2＋×4x＋3＝(x＋1)2＋2， x≥0，∴x＝0时，z有最小值，zmin＝3.4.顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是________．解析：设抛物线的方程为y2＝2ax，由于通径长为6，即2|a|＝6，∴a＝±3.∴适合题意的抛物线方程为y2＝±6x.答案：y2＝±6x5.(2010·南阳质检)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则抛物线的焦点坐标为________．解析： F(，0)，∴设AB：y＝x－，与y2＝2px联立，得x2－3px＋＝0，∴xA＋xB＝3p.由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.故焦点坐标为(1，0)．答案：(1，0)6.已知抛物线y2＝2x.设点A，求抛物线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.解：设P(x0，y0)为抛物线y2＝2x上任意一点，则|PA|2＝＋y＝x＋x0＋＝＋. x0∈[0，＋∞)，∴当x0＝0时，|PA|＝＋＝，即|PA|min＝.∴距点A最近点P的坐标为(0，0)，此时|PA|＝.1[B级能力提升]7.(2010·高考山东卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析：选B.抛物线的焦点为F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px，整理得y2－2py－p2＝0，由已知得该方程有两个不相等的实数根，则y1＋y2＝2p，所以p＝＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.8.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是()A.B.C.D．3解析：选A.设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，则该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为＝＝≥＝，当且仅当m＝时等号成立，此时，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值为.9.(2012·上饶质检)过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C，若梯形ABCD的面积为12，则p＝________．解析：依题意知抛物线的焦点F的坐标为(0，)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y－＝x，代入抛物线方程得y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝4p，又直线AB的斜率为1，故直角梯形有一个内角为4...
