课时分层作业(二十)平面向量数量积的坐标表示(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝()A．－1B．C．－D．1D[因为a·b＝2－x＝1，所以x＝1.]2．已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝()A．(－3，6)B．(3，－6)C．(6，－3)D．(－6，3)A[由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，由于|b|＝3.∴|b|＝＝＝3，∴λ＝－3，即b＝(－3，6).]3．若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－B．C．D．C[2a＋b＝2(1，2)＋(1，－1)＝(2，4)＋(1，－1)＝(3，3)，a－b＝(1，2)－(1，－1)＝(0，3).设夹角为θ，则cosθ＝＝＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.]4．已知向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与－b垂直，则x的值为()A．－B．C．D．2A[因为a＋xb＝(3，4)＋(2x，－x)＝(2x＋3，4－x)，－b＝(－2，1).因为a＋xb与－b垂直，所以(2x＋3，4－x)·(－2，1)＝－4x－6＋4－x＝0，解得－5x＝2，所以x＝－.]5．在▱ABCD中，已知AC＝(－4，2)，BD＝(2，－6)，那么|2AB＋AD|＝()A．5B．2C．2D．D[设AB＝a，AD＝b，则a＋b＝AC＝(－4，2).b－a＝BD＝(2，－6)，所以b＝(－1，－2)，a＝(－3，4)，所以2AB＋AD＝2a＋b＝(－7，6)，所以|2AB＋AD|＝＝.]二、填空题6．设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________．[a＋c＝(3，3m)，由(a＋c)⊥b，得(3，3m)·(m＋1，1)＝0，即6m＋3＝0，所以m＝－，所以a＝(1，－1)，|a|＝＝.]7．直线l1：x＋2y－3＝0和直线l2：x－3y＋1＝0的夹角θ＝________.45°[任取l1和l2的方向向量分别为m＝和n＝，设m和n的夹角为α，则cosα＝＝，∴α＝45°，∴θ＝45°.]18．设a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的射影为________．[a在b方向上的射影为＝＝.]三、解答题9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.[解](1)∵a⊥b，∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，∴a－b＝(－2，0)，∴|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，∴a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝2.∴|a－b|＝2或2.10．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围．[解]∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.∵a，b的夹角α为钝角．∴即∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1).1．在四边形ABCD中，AC＝(1，2)，BD＝(－4，2)，则该四边形的面积为()A．B．2C．5D．10C[因为AC·BD＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，所以AC⊥BD，所以S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝××2＝5.]2．已知AB＝(4，2)，AC＝(k，－2)，若△ABC为直角三角形，则k等于()A．1B．6C．1或6D．1或2或6C[BC＝AC－AB＝(k，－2)－(4，2)＝(k－4，－4)，若∠A为直角，则AB·AC＝4k－4＝0，所以k＝1.若∠B为直角，则BA·BC＝(－4，－2)·(k－4，－4)＝－4k＋16＋8＝0，所以k＝6.若∠C为直角，则CA·CB＝0，即(－k，2)·(4－k，4)＝0，方程无解，综上知k的值为1或6.]3．设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．－2[法一：a＋b＝(m＋1，3)，2又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2.∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2.法二：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2.]4．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“⊗”为m⊗n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1，2)，p⊗q＝(－4，－3)，则q的坐标为________．(－2，1)[设q＝(x，y)，则p⊗q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3).∴∴]5．已知△ABC中，A(2，4)，B(－1，－2)，C(4，3)，BC边上的高为AD.(1)求证：AB⊥AC；(2)求点D和向量AD的坐标；(3)设∠ABC＝θ，求cosθ.[解](1)证明：AB＝(－1－2，－2－4)＝(－3，－6)，AC＝(4－2，3－4)＝(2，－1).∵AB·AC＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0，∴AB⊥AC，即AB⊥AC.(2)设D点坐标为(x，y)，则AD＝(x－2，y－4)，BC＝(5，5).∵AD⊥BC，∴AD·BC＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①又BD＝(x＋1，y＋2)，而BD与BC共线，∴5(x＋1)＝5(y＋2)，②由①②解得x＝，y＝，故D点坐标为，∴AD＝＝.(3)BA＝(3，6)，BC＝(5，5)，cosθ＝＝＝.3
