课时分层作业(九)数列的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列．已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有()A．300个B．320个C．340个D．360个B[由题意，在等差数列{an}中，n＝16，a8＋a9＝40，则S＝＝8(a8＋a9)＝8×40＝320.故选B.]2．某工厂去年总产值为a，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是()A．1.14aB．1.15aC．1.16aD．(1＋1.15)aB[去年产值是a，第一年要比去年产值增加10%，那么第一年就是a＋10%a，即a(1＋0.1)，第二年又比第一年增加10%，所以第二年是a(1＋0.1)(1＋0.1)，依此类推，第五年是a(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)＝1.15a，故选B.]3．某人2020年元旦存入一年期款a元，若按年利率为x的计算(不计利息税)，则到2025年元旦可取款()A．a(1＋x)5B．a(1＋x)6C．a(1＋x)4D．a(1＋x5)A[一年后，可取回款a(1＋x)，二年后，可取回款a(1＋x)2，三年后，可取回款a(1＋x)3，四年后，可取回款a(1＋x)4，五年后，可取回款a(1＋x)5，故选A.]4．某县2019年12月末人口总数为57万，假如从2020年元月1日起，人口总数每月按相同数目增加，则到2020年12月末为止人口总数为57.24万，则2020年10月末的人口总数为()A．57.1万B．57.2万C．57.22万D．57.23万B[根据题意，某县2019年12月末人口总数为57万，从2020年元月1日起人口总数每月按相同数目增加，则每月月末的该县的总人口为等差数列，设这个数列为{an}，且a1＝57，设其公差为d(单位为万)，又由到2020年12月末为止人口总数为57.24万，则有a1＝57，a13＝57.24，则有d＝＝0.02,2020年10月末的人口总数为即a11＝a1＋10d＝57.2.故选B.]5．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？()A.B.C．9D．101B[根据题意，该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2，设该等比数列为{an}，又由她5天共织布5尺，则S5＝＝5，解可得a1＝，则a2＝a1×q＝×2＝，故选B.]二、填空题6.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2.过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，以此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.[法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，则A5A6＝a7＝a1×q6＝2×＝.法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，∴An－1An＝an＋1＝sin·an＝an.所以{an}是以a1＝2为首项，为公比的等比数列，故a7＝a1×q6＝2×＝.]7．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒钟．7[1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥100，∴≥100，∴2n≥101，∴n≥7，即至少需7秒细菌将病毒全部杀死．]8．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出________万元资金进行奖励．2046[设第十名到第一名得到的奖金分别是a1，a2，…，a10，则an＝Sn＋1，∴a1＝2，an－an－1＝an，∴an＝2an－1.则每人所得奖金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S10＝＝2046.]三、解答题9．小张在2020年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，要求从贷款开始到2030年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)[解]50万元10年产生本息和与每年还x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的2本息和：50(1＋4%)10，每年还x万元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝·x，从而有50(1＋4%)10＝·x，解得x≈6.17，即每年至少要还6.17万...
