第14天抛物线【课标导航】1.掌握抛物线的定义，2.掌握抛物线的标准方程和几何性质一、选择题1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点,如果,那么A.10B.8C.6D.4()2．过抛物线的焦点且垂直于轴的弦长为,为抛物线顶点,则大小为A.小于B.等于C.大于D.不确定()3．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为()A．－2B.2C.－4D.44．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点,若线段与的长分别是、,则等于()A.B.C.D.5．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为()A.B.C.D.6．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点（0，2）的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.B.C.D.37．抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于()1A.B.C.D.38．直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知,则()A．B．C．D．4二、填空题9．一动圆和直线相切,且经过点,则圆心的轨迹方程是10．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为米．10．若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______.12．若抛物线截直线所得弦长.以为底边,以轴上点为顶点组成的面积为39,则点的坐标为.三、解答题13．若抛物线=上总存在关于直线：－1＝（－1）对称的相异两点，试求的取值范围.14．已知是抛物线上的两个动点，为坐标原点，非零向量满足：=.（Ⅰ）求证：直线经过一个定点；（Ⅱ）求线段中点的轨迹；（Ⅲ）求轨迹上的动点到直线的最短距离.215．如图，曲线G的方程为.以原点为圆心，以t（t>0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.16．已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M.（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）过M作，垂足为N，求点N的坐标；（Ⅲ）以M为圆心，MB为半径作圆M，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.．【链接联赛】（2012一试4）抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上3的两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为，则的最大值是.4第14天抛物线1--8.BCDCDBAC9.10.8;11.12.13.设直线垂直平分抛物线的弦AB，设A（，）、B(，),则...设AB的中点M（，则.又点M在抛物线内部.,即.解得－2<<0,故的取值范围是（－2，0）.14.证明：（1）∵=∴⊥∵、为非零向量，∴直线存在斜率且均不为零.设直线：,则直线：.，故直线：，过定点（0，4）（2）设则式并整理得：（3）由题：∵==∴=15.解：（Ⅰ）由题意知，(2)Aaa，．因为OAt，所以222aat．由于0t，故有22taa．（1）由点(0)(0)BtCc，，，的坐标知，直线BC的方程为1xyct．又因点A在直线BC上，故有21aact，5xyBAOaＣDa+2将（1）代入上式，得21(2)aacaa，解得22(2)caa．（Ⅱ）因为(22(2))Daa，，所以直线CD的斜率为2(2)2(2)2(2)122(22(2))2(2)CDaaakacaaaa．所以直线CD的斜率为定值．.16.解：（1）抛物线∴抛物线方程为y2=4x.（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），又∵F（1，0），∴则FA的方程为y=（x－1），MN的方程为解方程组（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2.当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，当m≠4时，直线AK的方程为即为圆心M（0，2）到直线AK的距离，令时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；当时，直线AK与圆M相交【链接联赛】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中,由余弦定理得当且仅当时等号成立.故的最大值为1.67
