【成才之路】2015-2016学年高中数学第1章3反证法课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．反证法是()A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法B．对其否命题的证明C．对其逆命题的证明D．分析法的证明方法[答案]A[解析]反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定原结论的真实性．2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解[答案]C3．应用反证法导出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用：①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．()A．①②B．①②④C．①②③D．②③[答案]C4．“M不是N的子集”的充分必要条件是()A．若x∈M，则x∉NB．若x∈N，则x∈MC．存在x1∈M且x1∈N，又存在x2∈M且x2∉ND．存在x0∈M且x0∉N[答案]D[解析]按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N的子集，只需存在x0∈M，但x0∉N.故选D.5．“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定为()A．自然数a、b、c都是奇数B．自然数a、b、c都是偶数C．自然数a、b、c中至少有两个偶数D．自然数a、b、c都是奇数或至少有两个偶数[答案]D[解析]恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．6．若a、b、c不全为零，必须且只需()A．abc≠0B．a、b、c中至少有一个为0C．a、b、c中只有一个是0D．a、b、c中至少有一个不为01[答案]D[解析]a、b、c不全为零，即a、b、c中至少有一个不为0.二、填空题7．某同学准备用反证法证明如下问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证|f(x1)－f(x2)|<.那么其反设应该是__________________．[答案]如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，则|f(x1)－f(x2)|≥[解析]根据题意知，反证法解题是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，连同其他条件一起经过推断，得出与已知条件或已有原理相矛盾，从而肯定原命题的正确性．这里进行假设时，注意把函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)剥离出来作为已知条件．8．用反证法证明命题“若p1p2＝2(q1＋q2)，则关于x的方程x2＋p1x＋q1＝0与x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一个方程有实数根”时，应假设为________．[答案]两个方程都没有实数根三、解答题9．求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°.[证明]已知∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角．求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个不小于60°.证明：假设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，三式相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立．∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.10．已知非零实数a、b、c构成公差不为0的等差数列，求证：、、不能构成等差数列．[证明]假设、、能构成等差数列，则由＝＋，于是得bc＋ab＝2ac.①而由于a、b、c构成等差数列，即2b＝a＋c.②所以由①②两式得，(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝c，这与a、b、c构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此、、不能构成等差数列.一、选择题1．(2014·济南模拟)设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋()A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2[答案]C[解析]假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.另取x＝y＝z＝1，可排除A、B.2．(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根2D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案]A[解析]至少有一个实根的否定为：没有实根．反证法的假设为原命题的否定．3．设a、b、c为一个三角形的三边，S＝(a＋b＋c)，若S2＝2ab，试证S<2A．用反证法证明该题时的假设为()A．S2≠2abB．S>2aC．S≥2aD．S≤2a[答案]C[解析]对“<”的...
