高中数学第二章概率2.6正态分布课堂导学苏教版选修2-3三点剖析一、利用标准正态表求正态总体在某一区间内的概率【例1】设测量一条道路长度的误差x(单位:m)服从正态分布N(-5,202),求:(1)误差的绝对值不超过30m的概率;(2)测得的长度小于道路真实长度的概率;(3)测得的长度比道路真实长度大35m的概率.(查表,可得Φ(1.75)=0.95994,Φ(1.25)=0.8944,Φ(2)=0.9772,Φ(0.25)=0.5987)解析：(1)P(|x|≤30)=P(-30≤x≤30)=Φ-Φ=Φ(1.75)-Φ(-1.25)=Φ(1.75)+Φ(1.25)-1=0.85434.(2)由误差的定义:测量值=真实值+误差,可见,题意要求的概率为P(x<0)=Φ=Φ(0.25)=0.5987.(3)题意要求的概率为P(x>35)=1-P(x≤35)=1-Φ=1-Φ(2)=0.0228.温馨提示求正态分布在某一区间的概率应先转化为标准正态分布.二、利用正态曲线的性质解题【例2】设任一正态总体N(μ,σ2)中取值小于x的概率为F(x),标准正态总体N(0,1)中,取值小于x0的概率为Φ(x0).(1)证明F(x)可化为Φ(x0)计算;(2)利用正态曲线的性质说明:当x取何值时,正态总体N(μ,σ2)相应的函数f(x)=(x∈R)有最大值,其最大值是多少？(1)证明：由正态总体N(μ,σ)的概率密度函数可知F(x)=Φ即.(2)解析：由正态曲线的单调性和对称性可知,正态总体N(μ,σ2)的概率密度函数f(x)在x=μ时,取到最大值.温馨提示注意正态曲线中μ,σ的几何意义.三、小概率事件【例3】某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从正态分布N(4,0.25),如果一批产品的合格率达到99.7%以上就认为这批产品是合格的.质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽取一件,测得它的外直径为5.7cm,试问该厂生产的这批零件是否合格？思路分析:要说明这批零件是否合格,就是要说明从这批零件中随机地取出一件,其尺寸是否落在规定的范围内.由正态分布的性质知,总体中个体取值的概率为99.7%所对应的区间为(μ-3σ,μ+3σ),故只需判断5.7是否属于该区间即可.解：∵ξ～N(4,0.25),由正态分布的性质知,ξ的取值落在区间(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为99.7%.由于μ=4,σ=0.5,∴μ-3σ=4-3×0.5=2.5,μ+3σ=4+3×0.5=5.5,即合格品的产品尺寸的取值范围是1(2.5,5.5).∵5.7(2.5,5.5),这说明在一次试验中小概率事件发生了,∴可以认为这批零件是不合格的.温馨提示发生概率一般不超过5%的事件,称为小概率事件,它在一次试验中几乎不可能发生.各个击破类题演练1某学校学生的数学竞赛成绩ξ服从正态分布N(42,36),如某个学生得48分,求成绩排在这名学生以后的学生占学生总数的百分比.解析:由ξ～N(42,36),则η=～N(0,1).因此,P(ξ<48)=F(48)=Φ=Φ(1)≈0.84.因而有84%的学生成绩排在得48分的学生之后.变式提升1某县农民平均收入服从μ=500元,σ=20元的正态分布.求:(1)此县农民的年均收入在500元～520元之间的人数的百分比.(2)此县农民年均收入超过540元的人数的百分比.解析:(1)P(500540)=P(X<460)=［P(X>540)+P(X<460)］=［1-P(4600.99,即有=2.33.于是h=184.31cm,故汽车车门的高度大于184.31cm时,男子与车门碰头的机会在0.01以下.3
