【成才之路】2015-2016学年高中数学2.3.1双曲线及其标准方程练习北师大版选修1-1一、选择题1．已知A(0，－5)、B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为()A．双曲线或一条直线B．双曲线或两条直线C．双曲线一支或一条直线D．双曲线一支或一条射线[答案]D[解析]当a＝3时，|PA|－|PB|＝6<|F1F2|，所以P的轨迹为双曲线一支；当a＝5时，|PA|－|PB|＝10＝|F1F2|，所以P的轨迹为一条射线．2．若k>1，则关于x、y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线[答案]C[解析]将方程化为标准方程＋＝1， k>1，∴1－k<0，k2－1>0，∴该方程表示焦点在y轴的双曲线．3．过点(1,1)，且＝的双曲线的标准方程为()A.－y2＝1B.－x2＝1C．x2－＝1D.－y2＝1或－x2＝1[答案]D[解析] ＝，∴b＝a，b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，将点(1,1)代入得，－＝1，＝1，a2＝，b2＝1，双曲线方程为－y2＝1.同理，当焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.4．双曲线3x2－4y2＝－12的焦点坐标为()A．(±5,0)B．(0，±)C．(±，0)D．(0，±)[答案]D[解析]双曲线3x2－4y2＝－12化为标准方程为－＝1，∴a2＝3，b2＝4，c2＝a2＋b2＝7，∴c＝，又 焦点在y轴上，故选D.5．若方程＋＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是()A．25C．k<2或k>5D．以上答案都不对[答案]C[解析]由题意得(k－2)(5－k)<0，∴(k－2)(k－5)>0，∴k>5或k<2.6．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线C上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线C的方程为()1A.－＝1B.－＝1(y>0)C.－＝1或－＝1D.－＝1(x>0)[答案]D[解析]由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：－＝1(x>0)二、填空题7．(2015·北京文，12)已知(2,0)是双曲线x2－＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.[答案][解析]由题意知c＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝3，所以b＝.8．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________．[答案]－＝1[解析]设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)，又点M(3,2)、N(－2，－1)在双曲线上，∴，∴.三、解答题9．过双曲线x2－y2＝8的一个焦点F1作垂直于实轴的弦AB，若F2为另一个焦点，求△AF2B的周长．[解析]设|AF1|＝m，|AF2|＝n，那么n－m＝2a，又△AF1F2中，∠AF1F2＝90°，所以n2－m2＝4c2，则有①÷②得n＋m＝8，所以△AF2B的周长为2(n＋m)＝16.10．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1·MF2＝0，求点M到x轴的距离．[答案][解析]由条件知c＝，∴|F1F2|＝2， MF1·MF2＝0，∴|MO|＝|F1F2|＝，设M(x0，y0)，则，∴y＝，∴y0＝±.故所求距离为.一、选择题1．(2014·揭阳一中高二期中)已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为()A.B．C．4D．10[答案]C[解析]由条件知a2－9＝4＋3，∴a2＝16， a>0，∴a＝4.2．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1·PF2＝0，则|PF1|·|PF2|的值等于()A．2B．22C．4D．8[答案]A[解析] PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2.又||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝20－2|PF1|·|PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2.3．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D．－＝1[答案]B[解析]由条件知P(，4)在双曲线－＝1上，∴－＝1，又a2＋b2＝5，∴，故选B.4．(2015·重庆文，9)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．±B．±C．±1D．±[答案]C[解析]由已知得右焦点F(c,0)(其中c2＝a2＋b2，c>0)，A1(－a,0)，A2(a,0)；B(c，－)，C(c，)；从而A1B―→＝(c＋a，－)，A2C＝(c－a，)，又因为A1B⊥A2C，所以A1B―→·A2C―→＝0，即(c－a)·(c＋a)＋(－)·()＝0；化简得到＝1⇒＝±1，即双曲线的渐进线的斜率为±1；故选C.二、填空题5．设点P是双曲线...
