【成才之路】2015-2016学年高中数学2.3.1双曲线及其标准方程练习北师大版选修1-1一、选择题1.已知A(0,-5)、B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当a=3或5时,P点的轨迹为()A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线[答案]D[解析]当a=3时,|PA|-|PB|=6<|F1F2|,所以P的轨迹为双曲线一支;当a=5时,|PA|-|PB|=10=|F1F2|,所以P的轨迹为一条射线.2.若k>1,则关于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线[答案]C[解析]将方程化为标准方程+=1, k>1,∴1-k<0,k2-1>0,∴该方程表示焦点在y轴的双曲线.3.过点(1,1),且=的双曲线的标准方程为()A.-y2=1B.-x2=1C.x2-=1D.-y2=1或-x2=1[答案]D[解析] =,∴b=a,b2=2a2.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1,将点(1,1)代入得,-=1,=1,a2=,b2=1,双曲线方程为-y2=1.同理,当焦点在y轴上时,双曲线方程为-x2=1.4.双曲线3x2-4y2=-12的焦点坐标为()A.(±5,0)B.(0,±)C.(±,0)D.(0,±)[答案]D[解析]双曲线3x2-4y2=-12化为标准方程为-=1,∴a2=3,b2=4,c2=a2+b2=7,∴c=,又 焦点在y轴上,故选D.5.若方程+=1表示双曲线,则实数k的取值范围是()A.25C.k<2或k>5D.以上答案都不对[答案]C[解析]由题意得(k-2)(5-k)<0,∴(k-2)(k-5)>0,∴k>5或k<2.6.已知点F1(-4,0)和F2(4,0),曲线C上的动点P到F1、F2距离之差为6,则曲线C的方程为()1A.-=1B.-=1(y>0)C.-=1或-=1D.-=1(x>0)[答案]D[解析]由双曲线的定义知,点P的轨迹是以F1、F2为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,其方程为:-=1(x>0)二、填空题7.(2015·北京文,12)已知(2,0)是双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点,则b=________.[答案][解析]由题意知c=2,a=1,b2=c2-a2=3,所以b=.8.双曲线的焦点在x轴上,且经过点M(3,2)、N(-2,-1),则双曲线标准方程是________.[答案]-=1[解析]设双曲线方程为:-=1(a>0,b>0),又点M(3,2)、N(-2,-1)在双曲线上,∴,∴.三、解答题9.过双曲线x2-y2=8的一个焦点F1作垂直于实轴的弦AB,若F2为另一个焦点,求△AF2B的周长.[解析]设|AF1|=m,|AF2|=n,那么n-m=2a,又△AF1F2中,∠AF1F2=90°,所以n2-m2=4c2,则有①÷②得n+m=8,所以△AF2B的周长为2(n+m)=16.10.已知双曲线x2-=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1·MF2=0,求点M到x轴的距离.[答案][解析]由条件知c=,∴|F1F2|=2, MF1·MF2=0,∴|MO|=|F1F2|=,设M(x0,y0),则,∴y=,∴y0=±.故所求距离为.一、选择题1.(2014·揭阳一中高二期中)已知椭圆+=1(a>0)与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为()A.B.C.4D.10[答案]C[解析]由条件知a2-9=4+3,∴a2=16, a>0,∴a=4.2.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且PF1·PF2=0,则|PF1|·|PF2|的值等于()A.2B.22C.4D.8[答案]A[解析] PF1·PF2=0,∴PF1⊥PF2.又||PF1|-|PF2||=4,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20,∴(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=20-2|PF1|·|PF2|=16,∴|PF1|·|PF2|=2.3.已知双曲线中心在原点,一个焦点为F1(-,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是()A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1[答案]B[解析]由条件知P(,4)在双曲线-=1上,∴-=1,又a2+b2=5,∴,故选B.4.(2015·重庆文,9)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()A.±B.±C.±1D.±[答案]C[解析]由已知得右焦点F(c,0)(其中c2=a2+b2,c>0),A1(-a,0),A2(a,0);B(c,-),C(c,);从而A1B―→=(c+a,-),A2C=(c-a,),又因为A1B⊥A2C,所以A1B―→·A2C―→=0,即(c-a)·(c+a)+(-)·()=0;化简得到=1⇒=±1,即双曲线的渐进线的斜率为±1;故选C.二、填空题5.设点P是双曲线...