2018高考数学异构异模复习考案第八章立体几何课时撬分练8.5空间向量与立体几何理时间：45分钟基础组1.[2016·枣强中学猜题]若直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交答案B解析因为直线l的方向向量a＝(1，－1,2)与平面α的法向量u＝(－2,2，－4)共线，则说明了直线与平面垂直，故选B.2．[2016·衡水中学期中]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.aB.aC.aD.a答案A解析MN＝MA＋AB＋BN＝－AC1＋AB＋BN＝－(AB＋AD＋AA1)＋AB＋AA1＝AB＋AA1－AD，∴|MN|＝＝＝a.3．[2016·武邑中学期中]平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合答案C解析由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．4．[2016·衡水中学期末]如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.答案A解析设CB＝1，则CA＝CC1＝2，故B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，则BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)，cos〈BC1，AB1〉＝＝＝，即直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.故选A.5.[2016·冀州中学猜题]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，B1C的中点，则EF和平面ABCD所成角的正切值为()A.B.C.D．2答案B解析如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则点C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，F，E，EF＝DD1＝(0,0,1)为底面的一个法向量，cos〈EF，DD1〉＝＝＝，所以EF和平面ABCD所成角θ的正弦值为sinθ＝，∴tanθ＝＝.故选B.6．[2016·武邑中学仿真]过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)由题意得，AD⊥平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又 CD⊥平面PAD，∴AE⊥CD，又PD∩CD＝D，∴AE⊥平面CDP.∴AD＝(0,1,0)，AE＝分别是平面ABP、平面CDP的法向量，而〈AD，AE〉＝45°，∴平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为45°.7．[2016·衡水中学模拟]若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．答案解析设l与α所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝＝＝.8．[2016·冀州中学期中]已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________．答案解析如图建立空间直角坐标系D－xyz，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，AD1＝(－2,0,4)，AB1＝(0,2,4)，AA1＝(0,0,4)，设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则即解得x＝2z且y＝－2z，不妨设n＝(2，－2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d.则d＝＝.9．[2016·衡水中学仿真]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1＝4，D是棱AA1的中点．如图所示．(1)求证：DC1⊥平面BCD；(2)求二面角A－BD－C的大小．解(1)证明：按如图所示建立空间直角坐标系．由题意，可得点C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(2,0,2)，A1(2,0,4)，C1(0,0,4)．于是，DC1＝(－2,0,2)，DC＝(－2,0，－2)，DB＝(－2，2，－2)．可算得DC1·DC＝0，DC1·DB＝0.因此，DC1⊥DC，DC1⊥DB.又DC∩DB＝D，所以DC1⊥平面BDC.(2)设n＝(x，y，z)是平面ABD的法向量，则又AB＝(－2,2,0)，AD＝(0,0,2)，所以取y＝1，可得即平面ABD的一个法向量是n＝(1,1,0)．由(1)知，DC1是平面DBC的一个法向量，记n与DC1的夹角为θ，则cosθ＝＝－，θ＝.结合三棱柱可知，二面角A－BD－C是锐角，故所求二面角A－BD－C的大小是.10.[2016·枣强中学预测]如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝，M是线段B1D1的中点．(1)求证：BM∥平面D1AC；(2)求证：D1O⊥平面AB1C；(3)求二面角B－AB1－C的大小．解(1)证明：建立如图所...
