第42课数列的综合应用一、填空题1.已知数列{an}的前n项和为Sn=(-1)nn,那么an=.2.在正项等比数列{an}中,若a1,a99是方程x2-10x+16=0的两个根,则a40a50a60=.3.已知{an}是等差数列,且a4=15,S5=55,那么过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜率为.4.(2014·虹口模拟)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1与a5的等比中项为2,那么a2+a4的最小值等于.5.已知a,b,c成等比数列,那么函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有个.6.(2014·广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,首项为a1,且12,an,Sn成等差数列,那么数列{an}的通项公式为.7.(2014·江苏模拟)设公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,-2170,所以a50=4,所以a40a50a60=350a=43=64.3.4解析:因为{an}为等差数列,所以S5=155()2aa=5a3=55,所以a3=11,所以kPQ=43-4-3aa=a4-a3=15-11=4.4.4解析:由等比数列的性质知a2a4=a1a5=22,所以a2+a4≥224aa=4(当且仅当a2=a4=2时等号成立).5.0解析:由已知得b2=ac,所以Δ=b2-4ac=-3b2.又a,b,c成等比数列,所以b≠0,所以Δ<0,所以没有交点.6.an=2n-2解析:因为12,an,Sn成等差数列,所以2an=Sn+12.当n=1时,2a1=a1+12,所以a1=12.当n≥2时,Sn=2an-12,Sn-1=2an-1-12,两式相减得an=2an-2an-1,所以-1nnaa=2,所以数列{an}是首项为12、公比为2的等比数列,所以an=a1×2n-1=2n-2.7.9解析:因为等差数列{an}的公差d满足-2170,所以n<1-1d.因为-2170;当n≥10,an<0.所以当n=9时,Sn取最大值.8.an=-112n解析:由题意可得2an+1+Sn-2=0①.当n≥2时,2an+Sn-1-2=0②,由①-②得2an+1-2an+an=0,所以1nnaa=12(n≥2).因为a1=1,2a2+a1=2,3所以a2=12,21aa=12,所以{an}是首项为1、公比为12的等比数列,所以an=-112n.9.因为函数f(x)=ax的图象过点11,2,所以a=12,f(x)=12x.又点2-1,nann(n∈N*)在函数f(x)=ax的图象上,所以2nan=-112n,即an=2-12nn.10.(1)由a1=10,a2为整数知,等差数列{an}的公差d为整数.又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0,所以10+3d≥0,10+4d≤0,解得-103≤d≤-52,所以d=-3.故数列{an}的通项公式为an=13-3n.(2)由(1)知bn=1(13-3)(10-3)nn=111-310-313-3nn.所以Tn=b1+b2+…+bn=13[11-710+11-47+…+11-10-313-3nn]=111-310-310n=10(10-3)nn.11.(1)因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.因为sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),所以sinA+sinC=2sin(A+C).(2)因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.由余弦定理得cosB=222-2acbac=22-2acacac≥2-2acacac=12,当且仅当a=c时等号成立,4所以cosB的最小值为12.5
