（全国通用）高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第4讲 数列、不等式-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

4．数列、不等式1．已知前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝.由Sn求an时，易忽略n＝1的情况．[问题1]已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.2．等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.(3)等差数列的前n项和：Sn＝，Sn＝na1＋d.(4)等差数列的性质①当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n是关于n的二次函数且常数项为0.②若公差d>0，则为递增等差数列；若公差d<0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列．③当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．[问题2]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为()A．15B．20C．25D．303．等比数列的有关概念及性质(1)等比数列的判断方法：定义法＝q(q为常数)，其中q≠0，an≠0或＝(n≥2)．如一个等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1＝.(2)等比数列的通项：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.(3)等比数列的前n项和：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.易错警示：由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q＝1和q≠1两种情形讨论求解．(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±.如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A>B.(5)等比数列的性质当m＋n＝p＋q时，则有am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝a.[问题3](1)在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________.(2)各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项法；如：＝－；＝.(6)并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4]数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n项和，则S21的值为________．5．在求不等式的解集时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．[问题5]不等式－3x2＋5x－2>0的解集为________．6．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6]已知a，b，c，d为正实数，且c>d，则“a>b”是“ac>bd”的________条件．7．基本不等式：≥(a，b>0)(1)推广：≥≥≥(a，b>0)．(2)用法：已知x，y都是正数，则①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2；②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．[问题7]已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝＋的最小值是________．8．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．[问题8]设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是________．易错点1an与Sn关系不清例1已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，则数列{an}的通项公式为________．错因分析没有注意到an＝Sn－Sn－1成立的条件：n≥2，忽视对n的分类讨论．解析当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n，∴an＝答案an＝易错点2忽视等比数列中q的范围例2设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列{an}的公比q＝________.错因分析没有考虑等比数列求和公式Sn＝中q≠1的条件，本题中q＝1恰好符合题目条件．解析①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，∴S3＋S6＝S9成立．②当q≠1时，由S3＋S6＝S9，得＋＝.∴q9－q6－q3＋1＝0，...