（江苏专用）高考数学大一轮复习 第五章 第31课 余弦定理与解三角形要点导学-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第五章第31课余弦定理与解三角形要点导学要点导学各个击破余弦定理的简单运用在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosBcosC=-2bac.(1)求角B的大小;(2)若b=13,a+c=4,求△ABC的面积.[思维引导]由cosBcosC=-2bac及余弦定理将条件转化为边的关系求解.[解答](1)由余弦定理知cosB=222-2acbac,cosC=222-2abcab.将上式代入cosBcosC=-2bac,得222-2acbac·2222-ababc=-2bac,整理得a2+c2-b2=-ac.所以cosB=222-2acbac=-2acac=-12.因为B为三角形的内角,所以B=23.(2)将b=13,a+c=4,B=23代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB,所以13=16-2ac11-2,所以ac=3.所以S△ABC=12acsinB=334.[精要点评](1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本1题的关键.(2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.(2014·安徽卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b2+c2+3ab.(1)求A;(2)设a=3,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时角B的大小.[解答](1)由余弦定理得cosA=222-2bcaac=-32bcbc=-32.又因为0c.已知BA�·BC�=2,cosB=13,b=3.(1)求a和c的值;(2)求cos(B-C)的值.[思维引导](1)根据向量数量积的定义将BA�·BC�用a,c表示,再结合余弦定理解出a和c;(2)分别求出sinB和cosC,然后利用两角差的余弦公式求出cos(B-C)的值.[解答](1)由BA�·BC�=2,得cacosB=2,又cosB=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB,又b=3,所以a2+c2=13.由226,13,acac解得2,3ac或3,2.ac因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sinB=21-cosB=211-3=223.由正弦定理得sinC=cbsinB=23×223=429.因为a=b>c,所以C为锐角,因此cosC=21-sinC=2421-9=79.3所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=13×79+223×429=2327.(2014·陕西卷)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,求证:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.[解答](1)因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.因为sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),所以sinA+sinC=2sin(A+C).(2)因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.由余弦定理得cosB=222-2acbac=22-2acacac≥2-2acacac=12,当且仅当a=c时等号成立,所以cosB的最小值为12.已知△ABC的周长为4(2+1),且sinB+sinC=2sinA.(1)求a的值;(2)若S△ABC=3sinA,求角A的余弦值.[规范答题](1)根据正弦定理可将sinB+sinC=2sinA化为b+c=2a.(3分)联立方程组4(21),2,abcbca解得a=4.(6分)(2)因为S△ABC=3sinA,所以12bcsinA=3sinA,则bc=6.(10分)又由(1)可知b+c=42,所以cosA=22...